Question

已知：如图，P是⊙O直径AB延长线上一点，过P的直线交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于点H，CF交AB于点E。

⑴ 求证：PC·PD=PO·PE；
⑵ 若DE⊥CF，∠P=15⁰，⊙O的半径为2，求弦CF的长

Answer 1

（1）证明略
（2）

(1) 证明：连结DO，

∵直径AB⊥DF，  ∴ AD=AF
∴∠DOA=∠DCF
∵∠DOP+∠DOA=180^O    ，
∠PCE+∠DCF=180^O  
∴ ∠DOP=∠ECP……（2分）
∵∠P=∠P
∴ΔPOD∽ΔPCE 
∴  即PC·PD=PO·PE……（2分）
（2）解：∵直径AB⊥DF，∴ DH="FH  " ∴ ED=EF
∴ EH平分∠DEF
∵ DE⊥CF ∴ ∠DEC=∠DEF=90^O
∴ ∠FEH=45^O   ∠CEP=45^O
∵ ∠DCE=∠P+∠CEP=15^O+45^O=60^O
∴ ∠DOH=60^O　　　　　　　　　　……（2分）
在RtΔDOH中，由sin60^O=
∴ DH=       ∴ DH=
∵   ∴
∴　　　　　　　……（2分）
在RtΔDCF中，由
　　　　∴　
　　　　∴　　……（1分）