Question

6．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，BC=8，AD=14，E为AB上一点，BE=2，点F在BC边上运动，以EF为边做菱形FEHG，使点H落在边AD上，点G落在梯形ABCD内或其边上，若BF=x，△FCG的面积为y．
（1）当x=4时，四边形FEHG为正方形．
（2）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）
（3）分别画出△FCG的面积取得最大值和最小值时相应的图形（不要求写作法和尺规作图），并求△FCG面积的最大值和最小值（计算过程可简要书写）．

Answer 1

分析 （1）根据直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，BC=8，AD=14可直接求出答案；
（2）连接FH，作GQ⊥BC于Q，根据菱形FEHG，求证△QGF≌△AEH，可得S_△FCG=$\frac{1}{2}$CF•GQ=16-2x，然后即可求得y与x的函数关系式；
（3）当点F运动到使菱形FEHG的顶点H与点A重合时，x取得最小值，△FCG的面积最大，利用勾股定理求得BF，可得y=16-2x=16-4$\sqrt{3}$，然后即可求得△FCG的面积的最大值．

解答 解：（1）BF=x=4时，AE=6-2=4=BF，
∵∠A=∠B=90°，四边形EFGH是菱形，
∴EH=EF，
∵在Rt△AEH和Rt△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF}\\{EH=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEH≌Rt△BFE（HL），
∴∠AEH=∠EFB，
∵∠BEF+∠EFB=90°，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
∴∠HEF=180°-90°=90°，
即菱形EFGH是正方形，
∴当x=4时，四边形FEHG为正方形；

（2）如图1，连接FH，作GQ⊥BC于Q，则∠GQF=90°，∠GQF=∠A．
∵菱形FEHG，
∴GF=EH，EH∥FG，
∴∠EHF=∠GFH，
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AHF=∠HFC，
∴∠AHF-∠EHF=∠HFC-∠GFH，即∠AHE=∠GFQ，
∴△QGF≌△AEH，
∴GQ=EA=AB-BE=4，
∵BC=8，BF=x，
∴S_△FCG=$\frac{1}{2}$CF•GQ=16-2x．
∴y与x的函数关系式y=16-2x；

（3）如图2，当点F运动到使菱形FEHG的顶点H与点A重合时，x取得最小值，△FCG的面积最大，
画法如下：以E为圆心，EA为半径画弧，交BC边上于点F，平移EA到FG，连接AG，得到四边形FEHG为菱形，此时EF=EA=AB-BE=4，BF=$\sqrt{E{F}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
y=16-2x=16-4$\sqrt{3}$，即△FCG的面积的最大值为16-4$\sqrt{3}$．
如图3，当点F运动到使菱形FEHG的顶点G落在梯形ABCD的CD边上时，x取最大值，△FCG的面积取得最小值，画法如下：
在图1中有GQ=4可知．无论点F在BC边上如何运动，点G到BC及AD的距离都不变，分别为4、2，取AE的中点P，（AP=2），过点P作BC的平行线，交CD与G，作EG的垂直平分线，分别交AD、BC于H、F，顺次连接F、E、H、G得到四边形FEHG，可证的四边形FEHG为菱形．
如图4，作CM⊥AD与M，GK⊥AD于K，则BP=4，EP=AP=2，
∵梯形ABCD中，AB=6，BC=8．AD=14，
∴CM=AB=6，DM=AD-AM=6，GK=AP=2，
∵DM=CM，∠CMD=90°，
∴∠D=45°，
∴DK=GK=2，PG=AK=AD-DK=12，
与（2）同理可证△KGH≌△BEF，KH=BF，
设此时的BF=x，则AH=AD-KH-DK=14-BF-2=12-x，在直角三角形AEH与直角三角形BEF中，由勾股定理得
AE²+AH²=EH²，BE²+BF²=EF²，由菱形的性质可知EH=EF，
∴AE²+AH²=BE²+BF²，即4²+（12-x）²=2²+x²，
解得x=$\frac{13}{2}$，此时y=16-2x=3，
∴△FCG面积的最小值为3．

点评 此题主要考查直角梯形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质等知识点的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，属于难题．