Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于C（0，c）点，与x轴交于B（c，0），其中c＞0，
（1）求证：b+1+ac=0；
（2）若C与B两点距离等于2

2

，求c；
（3）在（2）的条件下，一元二次方程ax²+bx+c=0的两根之差的绝对值等于1，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）把点B的坐标代入抛物线解析式整理即可．
（2）B、C与原点O构成直角三角形，可利用勾股定理表示出斜边长BC，进而求得c．
（3）结合（1）（2），让一元二次方程ax²+bx+c=0只剩一个未知字母，表示出两根之差的绝对值，进而求解．

解答：解：（1）依题意有ac²+bc+c=0，c（ac+b+1）=0，
∵c＞0，
∴ac+b+1=0．（2分）

（2）|BC|=

2

c=2

2

，
∴c=2，（2分）

（3）由（1）（2）知

c=2 b=-2a-1

，
设二次函数的解析式为：y=ax²-（2a+1）x+2（1分），
∴|x₁-x₂|=|

-b+ b2-4ac

2a

-

-b- b2-4ac

2a

|=1，
∴

(2a+1)2-8a

|a|

=1，
∴a=1，a=

1

3

，（1分）
∴a=1?时，y=x²-3x+2，（1分）
∴a=

1

3

?时，y=

1

3

x²-

5

3

x+2．（1分）

点评：点在函数解析式上，这个点的横纵坐标应适合这个函数解析式；一元二次方程的两根之差的绝对值为

b2-4ac

|a|

．