Question

如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．

请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：
（1）△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，AB=a，则BC=______；
（2）如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm，∠B=30°时，△ACD的周长=______．
（3）如图3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：EA=______．
（4）如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且∠CAD=∠ABE，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，猜想PB与PQ的数量关系，并说明理由．

Answer 1

解：

（1）∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，且∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=30，∠C=90°，
∴BC=AB=．
故填：；

（2）如图2，∵DE是线段BC的垂直平分线，∠ACB=90°，
∴CD=BD，AD=BD．
又∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AC=AB，
∴△ACD的周长=AC+AB=3BD=15cm．
故填：15cm；

（3）如图3，连接AD．
∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，
∴∠BAD=60°．
又∵DE⊥AB，
∴∠B=∠ADE=30°，
∴BE=BD，AE=AD，
∴BE：EA=BD：AD，
又∵BD=AD，
∴BE：AE=3：1．
故填：3：1．

（4）BP=2PQ．理由如下：
∵△ABC为等边三角形．
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
在△BAE和△ACD中，，
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD．
∵∠BPQ为△ABP外角，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ．
分析：（1）根据三角形内角和定理推知∠A=30，∠C=90°．
（2）根据线段垂直平分线的性质知CD=BD，则△ACD的周长等于AC+AB；
（3）如图3，连接AD．利用等腰三角形的性质、垂直的定义推知∠B=∠ADE=30°，然后由”30度角所对的直角边是斜边的一半“分别求得BE、AE的值；
（4）如图4，根据全等三角形的判定定理SAS可判断两个三角形全等；根据全等三角形的对应角相等，以及三角形外角的性质，可以得到∠PBQ=30°，根据直角三角形的性质即可得到．
点评：本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质以及含30度角直角三角形的性质．直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．