练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    （2012•恩施州）如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
    （1）抛物线及直线AC的函数关系式；
    （2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
    （3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
    （4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
    分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式；
    （2）根据两点之间线段最短作N点关于直线x=3的对称点N′，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小；
    （3）需要分类讨论：①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）和②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x-1），然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标；
    （4）方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，如图1．设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）．根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=-x2+x+2；最后由图示以及三角形的面积公式知S△APC=-
    3
    2
    （x-
    1
    2
    ）2+
    27
    8
    ，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值；
    方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图2．设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）．根据图示以及三角形的面积公式知S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC-S△AGC=-
    3
    2
    （x-
    1
    2
    ）2+
    27
    8
    ，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值；
    解答：解：（1）由抛物线y=-x2+bx+c过点A（-1，0）及C（2，3）得，
    -1-b+c=0
    -4+2b+c=3
    ，
    解得
    b=2
    c=3
    ，
    故抛物线为y=-x2+2x+3
    又设直线为y=kx+n过点A（-1，0）及C（2，3）得
    -k+n=0
    2k+n=3
    ，
    解得
    k=1
    n=1

    故直线AC为y=x+1；

    （2）如图1，作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），
    故直线DN′的函数关系式为y=-
    1
    5
    x+
    21
    5
    ，
    当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，
    则m=-
    1
    5
    ×3+
    21
    5
    =
    18
    5
    ；



    （3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），
    ∵点E在直线AC上，
    设E（x，x+1），
    ①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，
    则F（x，x+3），
    ∵F在抛物线上，
    ∴x+3=-x2+2x+3，
    解得，x=0或x=1（舍去）
    ∴E（0，1）；
    ②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，
    则F（x，x-1）
    由F在抛物线上
    ∴x-1=-x2+2x+3
    解得x=
    1-
    		17
    2
    或x=
    1+
    		17
    2

    ∴E（
    1-
    		17
    2
    ，
    3-
    		17
    2
    ）或（
    1+
    		17
    2
    ，
    3+
    		17
    2
    ）
    综上，满足条件的点E的坐标为（0，1）、（
    1-
    		17
    2
    ，
    3-
    		17
    2
    ）或（
    1+
    		17
    2
    ，
    3+
    		17
    2
    ）；

    （4）方法一：如图3，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）
    ∴PQ=（-x2+2x+3）-（x+1）
    =-x2+x+2
    又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ
    =
    1
    2
    PQ•AG
    =
    1
    2
    （-x2+x+2）×3
    =-
    3
    2
    （x-
    1
    2
    ）2+
    27
    8

    ∴面积的最大值为
    27
    8
    ．

    方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图3，
    设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）
    又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC-S△AGC
    =
    1
    2
    （x+1）（-x2+2x+3）+
    1
    2
    （-x2+2x+3+3）（2-x）-
    1
    2
    ×3×3
    =-
    3
    2
    x2+
    3
    2
    x+3
    =-
    3
    2
    （x-
    1
    2
    ）2+
    27
    8

    ∴△APC的面积的最大值为
    27
    8
    ．
    点评：本题考查了二次函数综合题．解答（3）题时，要对点E所在的位置进行分类讨论，以防漏解．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•恩施州）如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．
    （1）求证：BC是⊙O的切线；
    （2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；
    （3）如果CD=15，BE=10，sinA=
    513
    ，求⊙O的半径．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•恩施州）如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•恩施州）先化简，再求值：
    x2+2x+1
    x+2
    ÷
    x2-1
    x-1
    -
    x
    x+2
    ，其中x=
    		3
    -2．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•恩施州）小丁每天从某报社以每份0.5元买进报纸200份，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份0.2元退给小丁，如果小丁平均每天卖出报纸x份，纯收入为y元．
    （1）求y与x之间的函数关系式（要求写出自变量x的取值范围）；
    （2）如果每月以30天计算，小丁每天至少要卖多少份报纸才能保证每月收入不低于2000元？

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•恩施州）一个用于防震的L形包装塑料泡沫如图所示，则该物体的俯视图是（　　）

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案