Question

【题目】在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连结EG、CG.

（1）如图1，求证EG=CG且EG⊥CG.

（2）如图2将△BEF绕点B逆时针旋转90度，求线段EG和CG有怎么样的关系，并证明你的结论.

（3）如图3,将△BEF绕点B逆时针旋转180度，线段EG和CG有怎么样的关系?写出你的猜想，不需证明.

Answer 1

【答案】（1）EG=CG,且EG⊥CG.证明见解析；（2）证明见解析；（3）EG=CG且EG⊥CG.

【解析】（1）过点G作GH⊥BD于G交CD于H，通过条件证明△HGE≌△ICG，就可以得出结论EG=CG，EG⊥CG；

（2）作GH⊥BC于H，根据平行线等分线段定理就可以得出EH=CH，再根据中垂线的性质就可以得出EG=EC，过点G作GP⊥BD于G交CB于P，最后通过证明三角形全等就可以得出结论EG⊥CG；

（3）延长FE交DC延长线于M，连MG．可证四边形BEMC是矩形，得到BE=CM，∠EMC=90°．再证△BEF为等腰直角三角形，得到BE=EF，∠F=45°，EF=CM．

由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到MG=FD=FG．通过证明

FM=DM和∠F=∠GMC．得到△GFE≌△GMC，即可得到结论．

（1）过GH⊥AB于点H，延长HG交CD于点I，作GK⊥AD于点K．

则四边形GIDK是正方形，四边形AKGH是矩形，∴AK=HG，KD=DI=GI=AH．

∵AD=CD，∴IC=HG．

∵AD∥GH∥EF，G是DF的中点，∴HA=HE，∴HE=GI．

在Rt△HGE和Rt△ICG中，∵，∴Rt△HGE≌Rt△ICG（SAS），∴EG=CG，∠HGE=∠GCI，∠HEG=∠CGI，∴∠HGE+∠CGI=90°，∴∠EGC=90°，∴EG⊥CG；

（2）EG=CG，且EG⊥CG． 证明如下：

图2中，作GH⊥BC，则EF∥GH∥CD．

又∵G是DF的中点，∴EH=CH，则GH是BC的中垂线，∴GE=CG．

∵EF=EB，BC=CD

∴EF+CD=EC．

∵G是DF的中点，EH=CH，则GH=（EF+CD），∴GH=EC，∴△EGC是等腰直角三角形，∴EG=CG，且EG⊥CG；

（3）结论：EG=CG，且EG⊥CG．理由如下：

延长FE交DC延长线于M，连MG．

∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，∴四边形BEMC是矩形，∴BE=CM，∠EMC=90°．

∵BD平分∠ABC，∠ABC=90°，∴∠EBF=45°．

又∵EF⊥AB，∴△BEF为等腰直角三角形，

∴BE=EF，∠F=45°，∴EF=CM．

∵∠EMC=90°，FG=DG，

∴MG=FD=FG．

∵BC=EM，BC=CD，∴EM=CD．

∵EF=CM，∴EF+EM=CM+DC，即FM=DM．

又∵FG=DG，∠CMG=∠EMC=45°，∴∠F=∠GMC．

在△GFE和△GMC中，∵，∴△GFE≌△GMC（SAS），∴EG=CG，∠FGE=∠MGC．

∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，∴MG⊥FD，∴∠FGE+∠EGM=90°，∴∠MGC+∠EGM=90°，即∠EGC=90°，∴EG⊥CG．