Question

17．已知，如图，PA与⊙O相切于点A，过A作AB⊥OP，交⊙O于点B，垂足为H，连接OA，OB，PB．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OA=2，PH=4，求OP的长．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质得到∠OAP=90°，求得∠AOP=∠BOP，推出△AOP≌△BOP（SAS），根据全等三角形的想知道的∠OBP=∠OAP=90°，于是得到结论；
（2）根据余角的性质得到∠OAH=∠APO，推出△OAH∽△OPA，根据相似三角形的性质得到$\frac{OA}{OP}=\frac{OH}{OA}$，代入数据监控得到结论．

解答 （1）证明：∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∵OA=OB，AB⊥OP，
∴∠AOP=∠BOP，
在△AOP与△BOP中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠AOP=∠BOP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△BOP（SAS），
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴PB是⊙O的切线；

（2）解：∵AB⊥OP，
∴∠AHP=90°，
∴∠APO+∠PAH=90°，
∴∠OAH=∠APO，
∵∠AOH=∠POA，
∴△OAH∽△OPA，
∴$\frac{OA}{OP}=\frac{OH}{OA}$，
∴OA²=OH•OP，
∴2²=（OP-4）•OP，
∴OP=2$±2\sqrt{2}$，
∵OP＞0，
∴OP=2+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的性质和判定，垂径定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．