Question

19．设x₁，x₂是方程2x²+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$；
（2）（x₁+1）（x₂+1）；
（3）x₁²+x₂²．

Answer 1

分析 先根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-2，x₁x₂=-$\frac{3}{2}$，再进行代数式变形得到$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1，x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，然后分别利用整体代入的方法计算即可．

解答 解：根据题意得x₁+x₂=-2，x₁x₂=-$\frac{3}{2}$，
（1）$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{-2}{-\frac{3}{2}}$=$\frac{4}{3}$；
（2）（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=-$\frac{3}{2}$-2+1=-$\frac{5}{2}$；
（3）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（-2）²-2×（-$\frac{3}{2}$）=7．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．