在正方形ABCD中.M.N是对角线AC上的两点．(1)如图①.AM=CN.连接DM并延长.交AB于点F.连接BN并延长.交DC于点E.连接BM.DN．求证:①四边形MBND为菱形②△MFB≌△NED．(2)如图②.AM≠CN.连接BM并延长交AD于点G.连接DH并延长交BC于点N．连接DM.BN.若∠AMB=105°.∠DNC=115°.则∠GMD﹢∠HNB� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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18．在正方形ABCD中，M、N是对角线AC上的两点．
（1）如图①，AM=CN，连接DM并延长，交AB于点F，连接BN并延长，交DC于点E，连接BM、DN．
求证：①四边形MBND为菱形
②△MFB≌△NED．
（2）如图②，AM≠CN，连接BM并延长交AD于点G，连接DH并延长交BC于点N．连接DM、BN，若∠AMB=105°，∠DNC=115°，则∠GMD﹢∠HNB的度数是80°．

分析（1））①如图①中，连接BD交AC于O，先证明四边形BMDN是平行四边形，再根据NM⊥BD即可证明．
②先证明四边形BFDE是平行四边形，得到∠BFM=∠DEN，再证明BM=DN，∠BMF=∠DNE即可解决问题．
（2）分别求出∠GMD、∠HNB即可解决问题．

解答（1）①证明：如图①中，连接BD交AC于O．

∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵AM=CN，
∴OM=ON，∵OB=OD，
∴四边形MBND是平行四边形，
∵MN⊥DB，
∴四边形MBND是菱形．
②证明：∵四边形MBND是菱形，
∴DM∥NB，BM=DN，∠DMB=∠DNB，
∴∠BMF=∠DNE，
∵BF∥DE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴∠BFM=∠DEN，
在△MFB和△NED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFM=∠DEN}\\{∠BMF=∠DNE}\\{MB=DN}\end{array}\right.$，
∴△MFB≌△NED．

（2）如图②中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCN=∠DCN，BC=CD，
在△NCB和△NCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CN=CN}\\{∠NCB=∠NCD}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△NCB≌△NCD，
∴∠BNC=∠DNC=115°，同理可证∠AMD=∠AMB=105°，
∵∠CNH=180°-∠DNC=65°，
∴∠BNH=∠BNC-∠CNH=50°，
∴∠DMG=105°-75°=30°，
∴∠GMD﹢∠HNB=30°+50°=80°．
故答案为80．

点评本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．

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A．

30x+750＞1080

B．

30x-750≥1080

C．

30x-750≤1080

D．

30x+750≥1080

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