Question

【题目】在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC、CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N

(1) 如图①，当点M与点C重合，求证：DF=MN；

(2) 如图②，假设点M从点C出发，以1 cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）

① 判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．

② 连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a、t之间的关系；若不能，请说明理由

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①该命题是真命题．理由见解析；②能．理由见解析；

【解析】

试题分析：（1）证明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN；

（2）①首先证明△AFE∽△CDE，利用比例式求出时间t=a，进而得到CM=a=CD，所以该命题为真命题；

②若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形，需要分类讨论．

试题解析：（1）∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，

∴∠ADF=∠DCN．

在△ADF与△DNC中，

，

∴△ADF≌△DNC（ASA），

∴DF=MN．

（2）①该命题是真命题．

理由如下：当点F是边AB中点时，则AF=AB=CD．

∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE，

∴，

∴AE=EC，则AE=AC=a，

∴t==a．

则CM=1t=a=CD，

∴点M为边CD的三等分点．

②能．理由如下：

易证△AFE∽△CDE，∴，即，得AF=．

易证△MND∽△DFA，∴，即，得ND=t．

∴ND=CM=t，AN=DM=a-t．

若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形：

（Ⅰ）若FN=MN，则由AN=DM知△FAN≌△NDM，

∴AF=ND，即=t，得t=0，不合题意．

∴此种情形不存在；

（Ⅱ）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC，

∴t=a，此时点F与点B重合；

（Ⅲ）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如下图所示：

∵AN=DM，AD=CD，

∴ND=CM，

∵，

∴△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a-t；

又由△NDM∽△DCF，∴，即，∴FC=．

∴=a-t，

∴t=a，此时点F与点C重合．

综上所述，当t=a或t=a时，△MNF能够成为等腰三角形．