如图，开口向下的抛物线y=ax²-8ax+12a与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在第一象限，且使△OCA∽△OBC，
（1）求OC的长及 $数学公式$ 的值；
（2）设直线BC与y轴交于P点，点C是BP的中点时，求直线BP和抛物线的解析式．

解：
（1）由题设知a＜0，
且方程ax²-8ax+12a=0有两二根，
两边同时除以a得，x²-8x+12=0
原式可化为（x-2）（x-6）=0
x₁=2，x₂=6
于是OA=2，OB=6

∵△OCA∽△OBC
∴OC²=OA•OB=12即OC=2 $\text{[math]}$
而 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =3，故 $\text{[math]}$

（2）因为C是BP的中点
∴OC=BC从而C点的横坐标为3
又 $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
设直线BP的解析式为y=kx+b，
因其过点B（6，0）， $\text{[math]}$ ，
则有 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
又点 $\text{[math]}$ 在抛物线上
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴抛物线解析式为： $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据抛物线的解析式即可求出A、B的坐标，也就得出了OA、OB的长，根据题中给出的相似三角形得出的比例线段可求出OC的长．已知了OA、OB的长即可得出三角形OBC和三角形OCA的面积比，而根据面积比等于相似比的平方即可得出BC与AC的比例关系．
（2）当C是BP中点是，OC就是直角三角形OBP的斜边的中线，因此OC=BC，三角形OCB是等腰三角形，可过C作x轴的垂线通过构建直角三角形求出C点坐标，进而可得出直线BP的解析式，将C点坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．
点评：本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、相似三角形的性质等知识点．

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