Question

如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=4cm，DC=6cm，试求AD的长．小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．请按照她的思路回答下列问题：
（1）小萍分别以AB、AC所在的直线为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点分别为点E、F，延长EB、FC相交于G点．试帮她证明四边形AEGF是正方形；
（2）联系（1）的结论，试求出AD的长．

Answer 1

分析：（1）先根据图形翻折变换的性质可知△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF=90°；再根据对称的性质得到AE=AF，从而说明四边形AEGF是正方形；
（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x-4）2+（x-6）2=102，求出AD=x=12．

解答：（1）证明：∵△ABE由△ABD翻折而成，△ACF由△ACD翻折而成，
∴△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．
∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°，
∴∠EAF=90°．
又∵AD⊥BC
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．
又∵AE=AD，AF=AD
∴AE=AF．
∴四边形AEGF是正方形．
（2）解：设AD=x，则AE=EG=GF=x．
∵BD=4，DC=6
∴BE=4，CF=6
∴BG=x-4，CG=x-6
在Rt△BGC中，BG²+CG²=BC²，
∴（x-4）²+（x-6）²=10²，即x²-10x-24=0，解得x₁=12，x₂=-2（舍去）
∴AD=x=12．

点评：本题考查图形的翻折变换和利用勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．