Question

（1）计算：

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

2011×2013

；
（2）若|x-1|+|y+1|=0，试求：

1

x(y+3)

+

1

(x+1)(y+4)

+

1

(x+2)(y+5)

+…+

1

(x+2011)(y+2014)

的值；
（3）若n为整数，且（

1

1×4

+

1

4×7

+

1

7×10

+…+

1

2002×2005

）×|n|＜1，求n²+n的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，可知分母分别是相邻的两个奇数相乘，由分数的拆项公式

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

×（

1

2n-1

-

1

2n+1

）进一步解答即可．
（2）先根据非负数的性质：绝对值求出x、y的值，再由分数的拆项公式计算即可求解．
（3）根据分数的拆项公式求出

1

1×4

+

1

4×7

+

1

7×10

+…+

1

2002×2005

的值，再根据（

1

1×4

+

1

4×7

+

1

7×10

+…+

1

2002×2005

）×|n|＜1，可求n²+n的值．

解答：解：（1）

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

2011×2013

=

1

2

×（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2011

-

1

2013

）
=

1

2

×（1-

1

2013

）
=

1

2

×

2012

2013

=

1006

2013

；

（2）∵|x-1|+|y+1|=0，
∴x-1=0，y+1=0，
解得x=1，y=-1，
则

1

x(y+3)

+

1

(x+1)(y+4)

+

1

(x+2)(y+5)

+…+

1

(x+2011)(y+2014)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2012

-

1

2013

=1-

1

2013

=

2012

2013

；

（3）

1

1×4

+

1

4×7

+

1

7×10

+…+

1

2002×2005

=

1

3

×（1-

1

4

+

1

4

-

1

7

+…+

1

2002

-

1

2005

）
=

1

3

×（1-

1

2005

）
=

1

3

×

2004

2005

=

668

2005

，
∵（

1

1×4

+

1

4×7

+

1

7×10

+…+

1

2002×2005

）×|n|＜1，
∴n=-3或-2或-1或0或1或2或3，
∴当n=-3时，n²+n=6；
当n=-2时，n²+n=2；
当n=-1时，n²+n=0；
当n=0时，n²+n=0；
当n=1时，n²+n=2；
当n=2时，n²+n=6；
当n=3时，n²+n=12．

点评：考查了非负数的性质：绝对值，代数式求值，有理数的混合运算，关键是掌握分数的拆项公式．