Question

【题目】如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O 的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P．点C在OP上，且BC＝PC．

（1）求证：直线BC是⊙O的切线；

（2）若OA＝3，AB＝2，求BP的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）7.

【解析】分析：（1）连结OB．由等腰三角形的性质得到∠A=∠OBA，∠P=∠CBP，由于OP⊥AD，得到∠A+∠P=90°，于是得到∠OBA+∠CBP=90°，求得∠OBC=90°结论可得；

（2）连结DB．由AD是⊙O的直径，得到∠ABD=90°，推出Rt△ABD∽Rt△AOP，得到比例式，即可得到结果．

详解：（1）证明：连结OB．

∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA．

又∵BC＝PC，∴∠P＝∠CBP．

∵OP⊥AD，∴∠A＋∠P＝90°，

∴∠OBA＋∠CBP＝90°，

∴∠OBC＝180°－（∠OBA＋∠CBP）＝90°．

∵点B在⊙O上，

∴直线BC是⊙O的切线．

（2）连结DB．

∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，

∴Rt△ABD∽Rt△AOP．

∴＝，即＝，AP＝9，

∴BP ＝AP—BA＝9—2＝7．