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【题目】如图,正方形ABCD的边长为1,点E为边AB上一动点,连结CE并将其绕点C顺时针旋转90°得到CF,连结DF,以CECF为邻边作矩形CFGEGEADAC分别交于点HMGFCD延长线于点N

1)证明:点ADF在同一条直线上;

2)随着点E的移动,线段DH是否有最小值?若有,求出最小值;若没有,请说明理由;

3)连结EFMN,当MNEF时,求AE的长.

【答案】1)见解析;(2)有最小值,DH的最小值为;(3AE= 2

【解析】

1)要证明点ADF在同一条直线上,只需证明∠CDF+CDA=180°即可.根据题中的已知条件很容易证明△DCF≌△BCE,则∠CDF=B=90°,结论可证.

2)设AE=xDH=y,通过已知条件证明△ECBHEA,利用相似三角形的性质可知,即可得到一个yx的二次函数,根据二次函数的最值可求出线段DH的最小值.

3)利用矩形的性质及平行线的性质可证明△CFN≌△CEM,进而推出∠FCN=ECM=BCE=22.5°.BC上取一点K,使得KC=KE,则BKE是等腰直角三角形,设BE=BK=a,则KC=KE=a,利用求出a的值,从而利用即可求AE的长.

1)证明:∵四边形ABCD是正方形,

CD=CB,∠BCD=B=ADC=90°

CE=CF,∠ECF=90°

∴∠ECF=DCB

∴∠DCF=BCE

∴△DCF≌△BCE

∴∠CDF=B=90°

∴∠CDF+CDA=180°

∴点ADF在同一条直线上.

2)解:有最小值.

理由:设AE=xDH=y,则AH=1-yBE=1-x

∵四边形CFGE是矩形,

∴∠CEG=90°

∴∠CEB+AEH=90°

CEB+ECB=90°

∴∠ECB=AEH

∵∠B=EAH=90°

∴△ECBHEA

a=10

∴当时,y有最小值,最小值为

DH的最小值为

3)解:∵四边形CFGE是矩形,CF=CE

∴四边形CFGE是正方形,

GF=GE,∠GFE=GEF=45°

NMEF

∴∠GNM=GFE,∠GMN=GEF

∴∠GMN=GNM

GN=GM

FN=EM

CF=CE,∠CFN=CEM

∴△CFN≌△CEM

∴∠FCN=ECM

∵∠MCN=45°

∴∠FCN=ECM=BCE=22.5°

BC上取一点K,使得KC=KE

∴△BKE是等腰直角三角形

BE=BK=a,则KC=KE=a

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