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    1．如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（$\sqrt{3}$，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根．
    （1）判断直线AC与直线AB的位置关系？并说明理由；
    （2）若点D在直线AC上，且DB=DC，动点E在直线AC上（不与点D、C重合），作EF⊥直线BD垂足为点F，设点EF的长为d，点E的横坐标是x，请求出d与x的函数关系式；
    （3）在（2）的条件下，直线BD上是否存在点P，平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是菱形，若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

    分析 （1）结论：AB⊥CA．先求出B、C两点坐标，再求出直线AB、AC的解析式即可判断．
    （2）分两种情形解答①x≥2$\sqrt{3}$，②x＜2$\sqrt{3}$，分别Z在Rt△DEF中，解直角三角形即可．
    （3）分两种情形讨论即可①当AB为菱形对角线时，线段AB的垂直平分线的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1与y轴的交点即为点Q，此时Q1（0，1）．
    ②当AB为菱形的边时，AB=BP=2$\sqrt{3}$，可得P2（3，3-$\sqrt{3}$），P3（-3，3+$\sqrt{3}$），根据菱形的性质求出点Q坐标即可．

    解答 解：（1）AB⊥AC，理由如下：
    ∵一元二次方程x2-2x-3=0的两个根为-1，3，
    ∴C（0，-1），B（0，3），
    ∵A（$\sqrt{3}$，0），
    ∴直线AB的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+3，直线AC的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1，
    ∵-$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=-1，
    ∴AB⊥AC，

    （2）如图1中，作DM⊥BC于M．

    ∵DB=DC，DM⊥BC，
    ∴BM=CM=2，
    ∴OM=1，D（2$\sqrt{3}$，1），
    ∵tan∠OAC=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
    ∴∠CAO=30°，∠DCB=∠OAB=60°，
    ∵DC=DB，
    ∴△DBC是等边三角形，
    ∴CD=BC=4，AC=AD=2，
    ①当点E在点D上方时，即x≥2$\sqrt{3}$时，
    ∵点E的横坐标为x，
    ∴AE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（x-$\sqrt{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-2，DE=AE-AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-4，
    ∵∠EDF=∠BDC=60°，
    ∴d=EF=DE•cos30°=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-4）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=x-2$\sqrt{3}$．
    ②当点E在点D下方时，即x＜2$\sqrt{3}$时，同理可得d=2$\sqrt{3}$-x．
    综上所述d=$\left\{\begin{array}{l}{x-2\sqrt{3}}&{（x≥2\sqrt{3}）}\\{2\sqrt{3}-x}&{（x＜2\sqrt{3}）}\end{array}\right.$．


    （3）如图2中，存在，理由如下：

    当AB为菱形对角线时，线段AB的垂直平分线的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，
    直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1与y轴的交点即为点Q，此时Q1（0，1）．
    当AB为菱形的边时，AB=BP=2$\sqrt{3}$，可得P2（3，3-$\sqrt{3}$），P3（-3，3+$\sqrt{3}$），
    ∵四边形ABP2Q2、四边形ABP3Q3是菱形，
    ∴Q2（3+$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），Q3（$\sqrt{3}$-3，$\sqrt{3}$），
    综上所述，满足条件的点Q坐标（0，1）或（3+$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$）或（$\sqrt{3}$-3，$\sqrt{3}$）．

    点评 本题考查四边形综合题、一次函数、两直线位置关系、菱形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

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