Question

已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D、E两点，设AD为x．
（1）如图1，当x为何值时，⊙O与AM相切；
（2）如图2，当x为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°．

Answer 1

分析：（1）过O作OF⊥AM于F，根据切线的概念，切线到圆心的距离等于半径故当OF=r=2时，⊙O与AM相切，然后解直角三角形求得AD的值；
（2）过O点作OG⊥AM于G，证得△OBC，△BGO与△CGO是等腰直角三角形，再解直角三角形，求得AD的值．

解答：解：（1）如图1，过O作OF⊥AM于F，
当OF=r=2时，⊙O与AM相切，
此时OA=OF÷sin30°=4，
故x=AD=2；

（2）如图2，过O点作OG⊥AM于G
当∠BOC=90°，
∵OB=OC=2，
∴BC=2

2

又∵OG⊥BC，
∴BG=CG=

2

，
∴OG=

1

2

BC=

2

，
又∵∠A=30°，
∴OA=2

2

，
∴x=AD=2

2

-2．

点评：本题利用了切线的概念，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理，正弦的定义等知识求解．