Question

如图，在?ABCD中，E，F分别是AC上两点，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF为平行四边形．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质

专题：

分析：根据平行四边形ABCD的对边平行且相等，得到AB=CD，AB∥CD，得出∠BAE=∠DCF，然后根据BE⊥AC于E，DF⊥AC于F得出∠AEB=∠DFC=90°，∠BEF=∠DFE=90°，进而得出BE∥DF，根据AAS得到△ABE≌△CDF，则BE=DF．根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形就可证明．

解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEB=∠DFC=90°，∠BEF=∠DFE=90°，
∴BE∥DF，
在△ABE与△CDF中，

∠BAE=∠DCF ∠AEB=∠DFC AB=CD

，
∴ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．

点评：本题综合运用了平行四边形的性质和判定．熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．