Question

【题目】如图，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣+bx+c经过A，B两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P在抛物线上，点Q在直线AB上，当P，Q关于原点O成中心对称时，求点Q的坐标；

（3）点M为直线AB上的动点，点N为抛物线上的动点，当以点O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）；（3）满足条件的点M的坐标为（2，1）或（2﹣2，1+）或（2+2，1﹣）或（﹣2+2，3﹣）或（﹣2﹣2，3+）．

【解析】

（1）先确定出点A，B坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）设点Q的作标为（x，y），则P点坐标是（-x，-y）．利用直线方程与抛物线方程联立方程组，求得交点坐标即可；
（3）分OB为边和为对角线两种情况进行求解：①当OB为平行四边形的边时，用MN∥OB，表示和用MN=OB，建立方程求解；
②当OB为对角线时，OB与MN互相平分，交点为H，设出M，N坐标用OH=BH，MH=NH，建立方程组求解即可．

解：（1）∵与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴A（4，0），B（0，2）．

∵抛物线经过点A，B，

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为；

（2）设点Q的作标为（x，y），则P点坐标是（﹣x，﹣y），

∴，

解得：，；

∴．

（3））①当OB为平行四边形的边时，MN＝OB＝2，MN∥OB，

∵点M在直线AB上，点N为抛物线上，

∴设M（m，﹣m+2），

∴N（m，﹣m2+m+2），

∴MN＝|﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）|＝|﹣m2+2m|＝2，

当﹣m2+2m＝2，

解得，m＝2，

∴M（2，1），

当﹣m2+2m＝2，

解得，m＝2，

∴M（2﹣2），M（2+2，1﹣），

②当OB为对角线时，OB与MN互相平分，交点为H，

∴OH＝BH，MH＝NH，

∵B（0，2），O（0，0），

∴H（0，1），

设M（n，﹣），N（d，），

∴，

解得或，

∴M（﹣2+2，3﹣），M（﹣2﹣2，3+），

即：满足条件的点M的坐标为（2，1）或（2﹣2，1+）或（2+2，1﹣）或（﹣2+2，3﹣）或（﹣2﹣2，3+）．