Question

已知：如图，以△ABC的一边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于D、E两点.

（1）当△ABC为等边三角形时，则图1中△ODE的形状是 ；

（2）若?A=60°，AB≠AC（如图2），则（1）的结论是否还成立？请说明理由.

Answer 1

（1）△ODE为等边三角形（2）成立

【解析】

试题分析：（1）根据等边三角形的性质知?B=?C=60°，再结合同圆的半径相等，可知OB=OC=OD=OE，进而知△OBD,△OEC均为等边三角形，所以?BOD=?COE=60°，再由平角的定义知?DOE=60°，因此得证；

（2）连接CD，由BC为⊙O直径，可根据直径所对的圆周角是直角，可得CD⊥AB，所以可求得∠ACD=30°，再根据同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半的性质可求得∠DOE=60°，再由半径相等得证结论成立.

试题解析：【解析】

△ODE为等边三角形

证明：∵△ABC为等边三角形，

∴?B=?C=60°.

∵OB=OC=OD=OE,

∴△OBD,△OEC均为等边三角形.

∴?BOD=?COE=60°.

∴?DOE=60°.

∵OD=OE,

∴△ODE为等边三角形.

（2）答：成立．

证明：如图：连接CD

∵BC为⊙O直径,

∴?BDC=90°,

∴?ADC=90°.

∵?A=60°,

∴?ACD=30°．

∴?DOE=60°.

∵OD=OE,

∴△DOE为等边三角形.

考点：等边三角形，圆周角的性质定理