Question

（1）已知正方形ABCD ，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，求证EG = FH”（如图1）；

（2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB =2，BC =3（如图2），试探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论；

（3）如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为（如图3），试求EG的长度。

Answer 1

试题分析：因为ABCD是正方形，






在（2）的条件下，此时仍然满足EG = FH”
过Ａ作AM//EG，作AN//FH，连接ＭＮ，延长ＣＢ至Ｐ，使ＰＢ＝ＤＭ，连接ＡＰ，过Ａ作ＭＮ的垂线交ＭＮ于Ｑ。
显然三角形ＡＢＰ与ＡＤＭ全等，ＡＰ＝ＡＭ，角ＤＡＭ＝角ＢＡＰ
可知角ＰＡＮ＝４５°，三角形ＡＮＰ与ＡＮＭ全等，ＭＮ＝ＮＰ＝ＢＮ＋ＤＭ
设ＤＭ＝ｘ
则：ＭＣ＝１－ｘ 
AN=FH=
BN=1/2
MN=NP=BN+DM=1/2+x
NC=1-1/2=1/2
在直角三角形ＣＭＮ中，


EG=AM=
点评：解答本题的的关键是熟练掌握有两组角对应相等的两个三角形相似；两组边对应成比例且夹角相等的三角形相似.