Question

3．探索：
（x-1）（x+1）=x²-1         （x-1）（x²+x+1）=x³-1
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1    （x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵-1
…
（1）试求2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1的值；
（2）试猜想2²⁰¹⁵的个位数是多少，并说明理由；
（3）判断2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1的值的个位数是多少？

Answer 1

分析 （1）根据材料得出2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+1=2⁷-1⁷，求出即可；
（2）求出2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，2⁶=64，…，得出规律，即可得出答案；
（3）根据材料得出原式=2²⁰¹⁶-1，求出2²⁰¹⁶的个位数字即可．

解答 解：（1）2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1
=（2-1）×（2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1）
=2⁷-1⁷
=127；

（2）2²⁰¹⁵的个位数是8，
理由是：∵2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，2⁶=64，…，
2015÷4=503…3，
∴2²⁰¹⁵的个位数是8；

（3）2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1
=（2-1）×（2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1）
=2²⁰¹⁶-1²⁰¹⁶
∵由（2）知：2²⁰¹⁶的个位数字是6，
∴2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1的个位数字是5．

点评 本题考查了平方差公式的应用，能根据材料得出规律是解此题的关键．