【题目】如图1，△ABC、△DCE均为等边三角形，当B、C、E三点在同一条直线上时，连接BD、AE交于点F，易证：△ACE≌△BCD.聪明的小明将△DCE绕点C旋转的过程中发现了一些不变的结论，让我们一起开启小明的探索之旅！
（探究一）如图2，当B、C、E三点不在同一条直线上时，小明发现∠BFE的大小没有发生变化，请你帮他求出∠BFE的度数．
（探究二）阅读材料：在平时的练习中，我们曾探究得到这样一个正确的结论：两个全等三角形的对应边上的高相等.例如：如图3，如果△ABC≌△A’B’C’，AD、A’D’分别是△ABC、△A’B’C’的边BC、B’C’上的高，那么容易证明AD=A’D’.小明带着这样的思考又有了新的发现：如图4，若连接CF，则CF平分∠BFE，请你帮他说明理由．
（探究三）在探究二的基础上，小明又进一步研究发现，线段AF、BF、CF之间还存在一定的数量关系，请你写出它们之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）CF平分∠BFE （3）BF=AF+CF
【解析】
探究一：先证明
，得出
，又根据对顶角相等，得出
，最后得出
，得出.
探究二：过点C作
，
，垂足分别为M、N，可证
，根据，，可得CF平分∠BFE.
探究三：在AB上取一点H，使得
，先证
，得到
，根据探究一、二，得：
，
为等边三角形，得到BF=BH+HF=AF+CF，即BF=AF+CF.
（1）解：∵△ABC和△DCE均为等边三角形
∴AC=BC，CD=CE，
∠ACB=∠DCE=60°
∴∠BCD=∠ACE
在△BCD和△ACE中，
∴
∴
又∵
∴
∴
（2）过点C作，，垂足分别为M、N，由探究一得：
∴
又∵，
∴CF平分∠BFE.
（3）在AB上取一点H，使得
由得：
∠CAE=∠CBD
在△BCH和△ACF中，
∴
∴
由探究一、二，得：
∴为等边三角形
∴CF=CH=CF
∴BF=BH+HF=AF+CF
即BF=AF+CF.
习题精选系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】在一次研究性学习活动中，同学们看到了工人师傅在木板上画一个直角三角形的过程(如图所示)：画线段AB，过点A任作一条直线l，以点A为圆心，以AB长为半径画弧，与直线l相交于两点C、D，连接BC和BD．则△BCD就是直角三角形．
（1）请你说明△BCD是直角三角形的道理；
（2）请利用上述方法作一个直角三角形，使其中一个锐角为60°（不写作法，保留作图
痕迹，在图中注明60°的角）.
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【题目】如图，在ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
（1）求证：AB=CF；
（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．
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【题目】学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品．已知甲图书的单价是乙图书单价的
倍；用
元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少
本．
（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？
（2）若学校计划购买这两种图书共
本，且投入的经费不超过
元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】在平面直角坐标系xOy中，对于点P (x，y)，若点Q的坐标为(ax+y，x+ay)， 其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点"，例如，点P(1，4)的“3级关联点"为Q (3×1+4，1+3×4)， 即Q (7，13)。
(1)已知点A (-2，6)的“
级关联点”是点A1，点B的“2级关联点”是B1 (3， 3)， 求点A1和点B的坐标：
(2)已知点M (m-1， 2m)的“-3级关联点"M位于坐标轴上，求M的坐标
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【题目】等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．
（1）若AE=CF；
①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；
②若AE=2，试求APAF的值；
（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．
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【题目】如图，用（-1，0）表示A点的位置，用（2，1）表示B点的位置，那么：
（1）画出直角坐标系。
（2）写出△DEF的三个顶点的坐标。
（3）在图中表示出点M（6，2），N（4，4）的位置。
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