Question

【题目】如图，点E是△ABC的内心，线段AE的延长线交△ABC的外接圆于点D．

（1）求证：ED=BD；

（2）若∠BAC=90°，△ABC的外接圆的直径是6，求BD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）3．

【解析】

试题分析：（1）根据点E是△ABC的内心得出∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，求出∠BED=∠EBD，即可得出答案；

（2）求出BC为△ABC的直径，求出BD=DC，解直角三角形求出即可．

试题解析：（1）∵点E是△ABC的内心，

∴∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，

∵∠CBD=∠CAD，

∴∠BAD=∠CBD，

∴∠BED=∠ABE+∠BAD，

∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD=∠CBD，

∵∠EBD=∠CBE+∠CBD，

∴∠BED=∠EBD，

∴ED=BD；

（2）连接CD，

∵∠BAC=90°，

∴BC是⊙O的直径，

∴∠BDC=90°，

∵⊙O的直径=6，

∴BC=6，

∵E为△ABC的内切圆的圆心，

∴∠BAD=∠CAD，

∴BD=DC，

∴BD=DC=BC=3．