Question

已知抛物线y=ax²+（a+2）x+2a+1与直线y=2-3x至少有一个交点是整点（直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点），试确定整数a的值，并求出相应的交点（整点）的坐标．

Answer 1

分析：根据抛物线y=ax²+（a+2）x+2a+1与直线y=2-3x至少有一个交点是整点，将两式联立，得出关于x的一元二次方程，再利用根与系数关系得出，进而得出答案．

解答：解：联立

y=ax2+(a+2)x+2a+1 y=2-3x

，
得ax²+（a+5）x+2a-1=0（1）
设（1）的两根为x₁，x₂，
当两根都为整数，则x₁•x₂=

2a-1

a

=2-

1

a

为整数，
∴a=±1，
当a=1时，（1）为x²+6x+1=0无整数解，
当a=-1时，（1）为x²-4x+3=0，
解得：x₁=1，x₂=3，
对应地y₁=-1，y₂=-7，
∴a=-1，交点坐标为（1，-1）和（3，-7）．
当其中一个根是整数，
则a=2，同理可得出：交点（-3，11），
a=3，同理可得出：交点 （-1，5）．

点评：此题主要考查了二次函数与一元二次方程的综合应用，根据已知分类讨论得出，再利用解一元二次方程是解题关键．