Question

如图，在△ABC中，AB=BC=2，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，且点D为BC的中点．
（1）求证：△ABC为等边三角形；
（2）求DE的长；
（3）在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED？若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接AD，利用直径所对的圆周角为直角及垂直平分线的性质得到相等的线段AB=AC，联立已知的AB=BC，即可证得△ABC是等边三角形；
（2）连接BE，利用直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥AC，然后利用等腰三角形三线合一的性质得出E为AC的中点，继而利用三角形中位线的数量关系求得DE的长度；
（3）根据等边三角形的性质，可以证得△PBD和△AED有一组边DE=BD和一对角∠PBD=∠AED对应相等，所以只要再满足这组角的另一夹边对应相等就可以了．

解答：（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵点D是BC的中点，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∵AB=BC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC为等边三角形．

（2）解：连接BE．
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴BE⊥AC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AE=EC，即E为AC的中点，
∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线，
∴DE=

1

2

AB=

1

2

×2=1．

（3）解：存在点P使△PBD≌△AED，
由（1）（2）知，BD=ED，
∵∠BAC=60°，DE∥AB，
∴∠AED=120°，
∵∠ABC=60°，
∴∠PBD=120°，
∴∠PBD=∠AED，
要使△PBD≌△AED；
只需PB=AE=1．

点评：此题考查的知识点有：圆周角定理、等边三角形的判定、三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质，难度较大．