(1)数学爱好者小森偶然阅读到这样一道竞赛题:一个圆内接六边形ABCDEF.各边长度依次为 3.3.3.5.5.5.求六边形ABCDEF的面积．小森利用“同圆中相等的弦所对的圆心角相等这一数学原理.将六边形进行分割重组.得到图③．可以求出六边形ABCDEF的面积等于$\frac{47\sqrt{3}}{4}$．(2)类比探究:一个圆内接八边形.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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14．（1）数学爱好者小森偶然阅读到这样一道竞赛题：
一个圆内接六边形ABCDEF，各边长度依次为 3，3，3，5，5，5，求六边形ABCDEF的面积．
小森利用“同圆中相等的弦所对的圆心角相等”这一数学原理，将六边形进行分割重组，得到图③．可以求出六边形ABCDEF的面积等于$\frac{47\sqrt{3}}{4}$．

（2）类比探究：一个圆内接八边形，各边长度依次为2，2，2，2，3，3，3，3．求这个八边形的面积．
请你仿照小森的思考方式，求出这个八边形的面积．

分析（1）如图③，利用六边形ABCDEF每次绕圆心O旋转120°都和原来的图形重合可判断△MNQ为等边三角形，△MAF、△NBC和△QDE都是等边三角形，然后根据等边三角形的面积公式求解；
（2）先画出分割重组的图形，如图⑤，利用八边形ABCDEFGH为轴对称图形，每次绕圆心O旋转90°都和原来的图形重合，可判断四边形PQMN为正方形，△PAB、△GCD、△MEF、△NHG都是等腰直角三角形，根据根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质求解．

解答解：（1）如图③，∵六边形ABCDEF为轴对称图形，每次绕圆心O旋转120°都和原来的图形重合，
∴△MNQ为等边三角形，△MAF、△NBC和△QDE都是等边三角形，
∴NQ=3+5+3=11，
∴六边形ABCDEF的面积=S_△MNQ-3S_△AMN
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×11²-3×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×3²
=$\frac{47\sqrt{3}}{4}$；
故答案为$\frac{47\sqrt{3}}{4}$．
（2）如图⑤，∵八边形ABCDEFGH为轴对称图形，每次绕圆心O旋转90°都和原来的图形重合，
∴四边形PQMN为正方形，△PAB、△GCD、△MEF、△NHG都是等腰直角三角形，
∴PA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{2}$，PN=$\sqrt{2}$+3+$\sqrt{2}$=3+2$\sqrt{2}$，
∴这个八边形的面积=（3+2$\sqrt{2}$）²-4×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=9+12$\sqrt{2}$+8-4=13+12$\sqrt{2}$．

点评本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆心角、弧、弦的关系；正多边形的判定与性质；会运用等边三角形和等腰直角三角形的性质进行计算；学会利用类比的方法解决问题．

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