Question

（1）如图1，线段AB、DG交于点A，BC与DG交于点E，CG∥AB，作∠EDF=∠BAE，DF分别交BC、CG于点H、F，点E在线段BC上运动．如果E为BC中点，请探究线段AB与DF、CF之间的等量关系，并证明你的结论．
（2）如图2，在（1）中的其他条件不变的情况下，如果点E满足BE：EC=1：2，且若AB=4，CF=2，求DF的长度．

Answer 1

分析：（1）易证△ABE～△GCE．又由“E为BC中点”可以判定BE=EC，则△ABE≌△GCE，所以该全等三角形的对应边AB=CG．结合平行线的性质易证∠EDF=∠G，所以“等角对等边”得到DF=GF，则AB=BC=GF+CF=DF+CF，即AB=DF+CF；
（2）由（1）中的相似三角形的对应边成比例知：

AB

CG

=

BE

EC

，则易求

AB

CG

=

1

2

，即CG=2×4=8．结合图形得到CG=GF+CF=DF+CF，所以DF=6．

解答：解：（1）AB=DF+CF．理由如下：
∵AB∥CG，
∴△ABE～△GCE
∵BE=EC，
∴△ABE≌△GCE
∴AB=CG．
∵AB∥CG，∴∠BAE=∠G
又∠BAE=∠EDF，∴∠EDF=∠G，
∴DF=GF，
∴AB=BC=GF+CF=DF+CF，即AB=DF+CF；

（2）由（1）知：△ABE～△GCE，则

AB

CG

=

BE

EC

．
∵BE：EC=1：2，
∴

AB

CG

=

1

2

，CG=2×4=8．
∵CG=GF+CF=DF+CF，∴8=DF+2，
∴DF=6．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等．本题是通过平行线来判定相似三角形的．