Question

（改编）如图（1），点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，连接CN、DM．

（1）判断CN、DM的数量关系与位置关系，并说明理由；

（2）如图（2），设CN、DM的交点为H，连接BH，求证：BH=BC；

（3）将△ADM沿DM翻折得到△A′DM，延长MA′交DC的延长线于点E，如图（3），求cos∠DEM．

H

Answer 1

证明：（1）CN=DM，CN⊥DM，          

∵点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，

∴AM=DN．AD=DC．∠A=∠CDN，

∴△AMD≌△DNC（SAS），

∴CN=DM．∠CND=∠AMD，

∴∠CND+∠NDM=∠AMD+∠NDM=90°，

∴CN⊥DM，

∴CN=DM，CN⊥DM；                  

（2）延长DM、CB交于点P．

∵AD∥BC，

∴∠MPC=∠MDA，∠A=∠MBP，

∵MA=MB，

∴△AMD≌△BMP（AAS），

∴BP=AD=BC．

∵∠CHP=90°，

∴BH=BC，

（3）∵AB∥DC，

∴∠EDM=∠AMD=∠DME，

∴EM=ED．

设AD=A′D=4k，则A′M=AM=2k，

∴DE=ME=EA′+2k．

在Rt△DA′E中，A′D²+A′E²=DE²，

∴（4k）²+A′E²=（EA′+2k）²，

解得A′E=3k，

∴在直角△A′DE中，cos∠DEM=