Question

16．如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：
①$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{2}$；②$\frac{{S}_{△DOE}}{{S}_{△COB}}$=$\frac{1}{2}$；③$\frac{AD}{AB}$=$\frac{OE}{OB}$；④$\frac{{S}_{△ODE}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{1}{3}$
其中正确的个数有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，即DE是△ABC的中位线，则DE∥BC，△ODE∽△OCB，根据相似三角形的性质即可判断．

解答 解：∵BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC，即$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，
∴$\frac{{S}_{△DOE}}{{S}_{△COB}}$=（$\frac{DE}{BC}$）²=（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
$\frac{OE}{OB}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
故①正确，②错误，③正确；
设△ABC的BC边上的高AF，则S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AF，S_△ACD=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{4}$BC•AF，
∵△ODE中，DE=$\frac{1}{2}$BC，DE边上的高是$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$AF=$\frac{1}{6}$AF，
∴S_△ODE=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$BC×$\frac{1}{6}$AF=$\frac{1}{24}$BC•AF，
∴$\frac{{S}_{△ODE}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{\frac{1}{24}BC•AF}{\frac{1}{4}BC•AF}$=$\frac{1}{6}$，故④错误．
故正确的是①③．
故选B．

点评 本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，利用三角形的面积公式证明△ODE和△ADC之间的关系是关键．