Question

24、如图，D、E是△ABC边BC上的两点，F是BA延长线上一点，∠DAE=∠CAF．
（1）判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；
（2）若△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长．

Answer 1

分析：（1）作⊙ABD的切线l，利用圆的弦切角定理易知∠1=∠B．再过A点作AP⊥l，交⊙AEC于点P，连PE，只要证明AP为⊙AEC的直径即可，即∠AEP=90°．
（2）首先延长DA交⊙AEC于点G（不妨设F在⊙AEC上），连GF．根据角间的关系证明△ADB∽△AGF．根据△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍与正弦定理，可求得AF的长．最后利用切割线定理，求得BE的长．

解答：
（1）两圆外切．
证明：作⊙ABD的切线l，则∠1=∠B，
∵∠3=∠B+∠C，
∴∠3=∠1+∠C，
∵∠1+∠2=∠3=∠1+∠C，
∴∠2=∠C，
过A点作AP⊥l，交⊙AEC于点P，连PE，
∵∠P=∠ACE，则∠2=∠P，
∴∠PAE+∠P=90°，
于是∠AEP=90°，从而AP是⊙AEC的切线，即二圆相切于点A；

（2）解：延长DA交⊙AEC于点G（不妨设F在⊙AEC上），连GF，
由∠4=∠DAE+∠AED=∠3+∠AFC，
有∠4+∠5=180°，则∠4=∠AGF，
∴△ADB∽△AGF，
∴AB：AF=2（即等于两圆半径比），
但AB=4，
∴AF=2（这里可用正弦定理做），
∵BA•BF=BE•BC，
∴BE=4．

点评：本题考查了两圆相切的性质与证明、切割线定理、三角形外接圆与外心．同学们尤其要注意灵活运用切割线定理．