在平面直角坐标系中.一次函数y=-2x+2与y轴交于点A.与x轴交于点C.现把线段AC绕着点C顺时针方向旋转90°.得到线段BC.抛物线y=ax2-ax-2刚好经过点B．(1)求点B的坐标,(2)求抛物线的解析式,(3)平移该抛物线的对称轴所在直线l.当直线l移动到何处时.恰好将△ABC的面积分为1:2的两部分?(4)在抛物线上是否存在点P.使△ACP是以AC为直角边的等� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x+2与y轴交于点A，与x轴交于点C，现把线段AC绕着点C顺时针方向旋转90°，得到线段BC，抛物线y=ax²-ax-2刚好经过点B．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）平移该抛物线的对称轴所在直线l，当直线l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为1：2的两部分？
（4）在抛物线上是否存在点P（点B除外），使△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）首先过点B作BD⊥x轴，垂足为D，易证得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，则可求得点B的坐标；
（2）首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF的表达式；根据S_△CEF=

S_△ABC，列出方程求出直线l的解析式；
（3）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（4）分别从①以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P₁使得P₁C=BC，得到等腰直角三角形ACP₁，过点P₁作P₁M⊥x轴，②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP₂⊥CA，且使得AP₂=AC，得到等腰直角三角形ACP₂，过点P₂作P₂N⊥y轴，③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP₃⊥CA，且使得AP₃=AC，得到等腰直角三角形ACP₃，过点P₃作P₃H⊥y轴，去分析则可求得答案．

解答：

解：（1）如图1，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠CAO，
又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，
在△BDC和△COA中，

∠BCD=∠CAO

∠BDC=∠COA=90°

BC=AC

，
∴△BDC≌△COA（AAS），
∵一次函数y=-2x+2与y轴交于点A，与x轴交于点C，

∴A点的坐标为（0，2）C点的坐标为（1，0），
∴BD=OC=1，CD=OA=2，
∴点B的坐标为（3，1）；

（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=

．
∴S_△ABC=

AB²=

．
设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），
∴

b=2

3k+b=1

，
解得k=-

，b=2，
∴y=-

x+2．
同理求得直线AC的解析式为：y=

．
如答图1所示，
设直线l与BC、AC分别交于点E、F，则EF=（-

x+2）-（

）=

x．
△CEF中，EF边上的高h=OD-x=3-x．
由题意得：S_△CEF=

S_△ABC，
即：

EF•h=

S_△ABC，
∴

（

x）•（3-x）=

，
整理得：（3-x）²=3，
解得x=3-

或x=3+

（不合题意，舍去），
∴当直线l解析式为x=3-

时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分．

（3）∵抛物线y=ax²-ax-2过点B（3，1），

∴1=9a-3a-2，
解得：a=

，
∴抛物线的解析式为y=

x²-

x-2；

（4）假设存在点P，使得△ACP是等腰直角三角形，
①若以AC为直角边，点C为直角顶点，
则延长BC至点P₁使得P₁C=BC，得到等腰直角三角形ACP₁，过点P₁作P₁M⊥x轴，如图（1），
∵CP₁=BC，∠MCP₁=∠BCD，∠P₁MC=∠BDC=90°，
∴△MP₁C≌△DBC，
∴CM=CD=2，P₁M=BD=1，
∴P₁（-1，-1），经检验点P₁在抛物线y=

x²-

x-2上；

②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP₂⊥CA，且使得AP₂=AC，
得到等腰直角三角形ACP₂，过点P₂作P₂N⊥y轴，如图（2），
同理可证△AP₂N≌△CAO，
∴NP₂=OA=2，AN=OC=1，
∴P₂（-2，1），经检验P₂（-2，1）也在抛物线y=

x²-

x-2上；
③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP₃⊥CA，且使得AP₃=AC，
得到等腰直角三角形ACP₃，过点P₃作P₃H⊥y轴，如图（3），
同理可证△AP₃H≌△CAO，
∴HP₃=OA=2，AH=OC=1，
∴P₃（2，3），经检验P₃（2，3）不在抛物线y=

x²-

x-2上；
故符合条件的点有P₁（-1，-1），P₂（-2，1）两点．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性和强，难度较大，解题的关键是要注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用的应用．

练习册系列答案

千里马走向假期期末仿真试卷寒假系列答案

新锐图书假期园地暑假作业中原农民出版社系列答案

暑假百分百期末暑假衔接总复习系列答案

假期学习乐园暑假系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，等边△ABC内接于⊙O，D是劣弧BC上的任一点，AD=2，则四边形ABCD的面积为（　　）

A、

B、1

C、

D、2

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

经过某十字路口的汽车，它可继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，现有甲、乙、丙三辆汽车经过这个十字路口．
（1）试用树形图求至少有两辆汽车向左转的概率；
（2）求三辆汽车朝一个方向行驶的概率．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

市政府决定，2014年将位于滨湖南路和西路交叉路口（洋澜湖西南角）的桔园改造为生态公园，内建一个休闲广场（平面图形如图所示）．其中四边形ABCD是矩形，分别以AB、BC、CD、DA边为直径向外作半圆．现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元；若整个广场外沿的周长为628米．设矩形的边长AB=y米，BC=x米．（注：取π=3.14）
（1）试用含x的代数式表示y；
（2）设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式；
（3）若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由；
（4）若该工程在政府投入l千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC的长为整数且不超过AB长的三分之二，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

在四边形ABCD中，BD、AC相交于点O，AC=BD，E、F分别是AB、CD的中点，连接EF，分别交AC、BD于点M、N．判断△MON的形状，并说明理由．