Question

【题目】已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，⊙C与对角线BD相切．

（1）如图1，求⊙C的半径；

（2）如图2，点P是⊙C上一个动点，连接AP，AC，AP交⊙C于点Q，若sin∠PAC＝，求∠CPA的度数和弧PQ的长；

（3）如图，对角线AC与⊙C交于点E，点P是⊙C上一个动点，设点P到直线AC的距离为d，当0＜d≤时，请直接写出∠PCE度数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）60°，；（3）0°＜∠PCE≤60°或120°≤∠PCE＜180°

【解析】

（1）先利用勾股定理求出BD，再用三角形的面积公式求解即可得出结论；

（2）先根据三角函数求出CM和∠CPM，进而求出∠PCQ，最后用弧长公式计算即可得出结论；

（3）先判断出0＜CN≤，再利用三角函数求出分界点CN＝时的∠PCE的度数，即可得出结论．

（1）如图1，在矩形ABCD中，CD＝AB＝4，BC＝AD＝3，∠BCD＝90°，

设切点为H．连接CH，

∵ BD与⊙C相切于H，

∴ CH⊥BD，

根据勾股定理得，BD＝，

∵ S△BCD＝BCCD＝BDCH，

∴ CH＝，

即⊙C的半径为；

（2）如图2，连接CP，CQ，过点C作CM⊥AP于M，

∵ 四边形ABCD是矩形，

∴ AC＝BD＝5，

在Rt△ACM中，sin∠PAC＝，

∴ CM＝，

在Rt△CMP中，sin∠CPM＝，

∴∠CPM＝60°，

即∠CPA＝60°，

∵ CP＝CQ，

∴ △CPQ是等边三角形，

∴ ∠ PCQ＝60°，

∴ 弧PQ的长为；

（3）如图备用图，过点P作PP'∥AC，过点C作CN⊥PP'于N，

则∠PCN＝∠P'CN，∠ECN＝∠CNP＝90°，

∴ 点P到AC的距离d＝CN，

∵ 0＜d≤，

∴ 0＜CN≤，

当CN＝0时，点P在直线AC上，∠PCE＝0°，

当CN＝时，连接CP，CP'，

在Rt△P'CN中，cos∠P'CN＝＝＝，

∴ ∠P'CN＝30°，

∴ ∠PCN＝∠P'CN＝30°

∴ ∠P'CE＝∠ECN﹣∠P'CN＝60°，∠PCE＝∠ECN+∠PCN＝120°，

∴ ∠PCE度数的取值范围为0°＜∠PCE≤60°或120°≤∠PCE＜180°