Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，等腰梯形OABC的下底边OA在x轴的正半轴上，BC∥OA，OC=AB．tan∠BA0=

4

3

，点B的坐标为（7，4）．
（1）求点A、C的坐标；
（2）求经过点0、B、C的抛物线的解析式；
（3）在第一象限内（2）中的抛物线上是否存在一点P，使得经过点P且与等腰梯形一腰平行的直线将该梯形分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题可通过构建直角三角形来求解，过C作CD⊥OA于D，过B作BE⊥OA于E，在直角三角形OCD和ABE中，可根据B点的纵坐标即CD，BE的长和两底角的正切值求出AE，OD的长，即可求出C、A的坐标．
（2）根据已知的三点坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）应该有两个符合条件的P点，以过P且平行于AB的直线为例说明：可设过P且平行于等腰梯形一腰AB的直线与BC、OA的交点为M、N，那么平行四边形MBAN的面积就是梯形面积的一半，据此可求出BM，AN的长，即可求出BM、AN的长，即可求出M、N的坐标也就求出了直线MN的解析式和抛物线的解析式即可求出P点的坐标，根据抛物线和等腰梯形的对称性，求出的P点关于抛物线对称轴的对称点也应该符合题意．

解答：解：（1）过C作CD⊥OA于D，过B作BE⊥OA于E，
在直角三角形ABE中，BE=4，tan∠BAE=

4

3

，
∴AE=3，同理可求得OD=3．
因此C（3，4），A（10，0）．

（2）设抛物线的解析式为y=ax²+bx，
则有：

49a+7b=4 9a+3b=4

，
解得

a=- 4 21 b= 40 21

，
∴y=-

4

21

x²+

40

21

x．

（3）假设存在这样的P点，设过P点且与BA平行的直线交BC于M，交AO于N．
易知：BC=DE=4，OA=10，CD=4，
∴S_梯形ABCO=

1

2

（BC+OA）•CD=28．
∴S_?ANMB=

1

2

S_梯形ABCO=14
∴BM=AN=

7

2

∴M（

7

2

，4），N（

13

2

，0）
∴直线MN的解析式为：y=-

4

3

x+

26

3

，联立抛物线的解析式有：

y=- 4 3 x+ 26 3 y=- 4 21 x2+ 40 21 x

，
解得

x= 17+ 107 2 y=- 2 107 +8 3

（不合题意舍去），

x= 17- 107 2 y= 2 107 -8 3

．
∴P（

17- 107

2

，

2 107 -8

3

）．
根据抛物线和等腰梯形的对称性可知P点关于抛物线对称轴的对称点也应该符合题意，
因此符合条件的P点有两个：P（

17- 107

2

，

2 107 -8

3

），（

3+ 107

2

，

2 107 -8

3

）．

点评：本题考查了等腰梯形的性质、二次函数解析式的确定、以及图形面积的求法等知识点．