Question

5．如图，已知BC是⊙O的一条弦，点A是⊙0的优弧BC上的一个动点（点A与B，C不重合），∠BAC的平分线AP交⊙O于点P．∠ABC的平分线BE交AP于点E，连结BP．
（1）求证：点P为$\widehat{BC}$的中点；
（2）PE的长度是否会随点A的运动而变化？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由于AP平分∠BAC，即∠BAP=∠CAP，则根据圆周角定理可得$\widehat{PB}$=$\widehat{PC}$，于是可判断点P为$\widehat{BC}$的中点；
（2）通过证明PE=PB来判断PE的长度不会随点A的运动而变化．

解答 （1）证明：∵∠BAC的平分线AP交⊙O于点P，
即∠BAP=∠CAP，
∴$\widehat{PB}$=$\widehat{PC}$，
∴点P为$\widehat{BC}$的中点；
（2）解：PE的长度不会随点A的运动而变化．理由如下：
如图，
∵BE平分∠ABC，
∴∠4=∠5，
∵∠3=∠1+∠4，
而∠1=∠2，
∴∠3=∠5+∠2，
∵∠2=∠6，
∴∠3=∠5+∠6，
∴PE=PB，
∴PE的长度不会随点A的运动而变化．

点评 本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等腰三角形的判断和圆周角定理．