Question

已知二次函数f（x）=x²+px+q，且方程f（x）=0与f（2x）=0有相同的非零实根．
（1）求

q

p2

的值．（2）若f（1）=28，解方程f（x）=0．

Answer 1

分析：（1）首先根据题意写出二次函数f（x）=x²+px+q=0、f（2x）=（2x）²+p（2x）+q=0的．再利用加减消元法、代入法抵消掉x即可求出

q

p2

的值．
（2）根据f（1）=28可列出1+p+q=28，再根据（1）式可知p、q的关系，联立可解出p、q的值．代入方程f（x）=0，即可取出x的具体解．

解答：解：（1）设f（x）=0的两根为x₁、x₂，且x₁≤x₂
则f（x）=0，即x²+px+q=0              ①
f（2x）=0，即（2x）²+p（2x）+q=0      ②
①×4-②得  2px+3q=0，即 x=-

3q

2p

③
②-①×2得  2x²-q=0，即 x²=

q

2

④
将③代入④得(-

3q

2p

)2=

q

2

，即

q

p2

=

2

9

（2）∵f（1）=28，即：1+p+q=28    ⑤
由（1）知

q

p2

=

2

9

⑥
联立两方程求得  p=9，q=18，或p=-

27

2

，q=

81

2

当p=9，q=18时，f（x）=x²+9x+18
f（x）=0，即x²+9x+18=0
解得x₁=-3，x₂=-6；
当p=-

27

2

，q=

81

2

时，f（x）=x2-

27

2

x+

81

2

f（x）=0，即x2-

27

2

x+

81

2

=0
解得x₁=

9

2

，x₂=9
故f（0）的两组解是

x1=-3 x2=-6

，

x1= 9 2 x2=9

点评：本题是一道二次函数的综合题目．解决本题的关键是根据方程f（x）=0与f（2x）=0有相同的非零实根，确定出p、q的值．