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惠民中学八年级数学学习兴趣小组的同学对“如图,AD是△ABC的边BC上的高,添加一个条件使△ABC是等腰三角形”这一问题展开讨论:添加∠BAD=∠CAD或BD=CD很容易说明△ABC是等腰三角形.也有同学提出:添加①AB+BD=AC+CD或②AB-BD=AC-CD也能说明△ABC是等腰三角形.我添加的是________(只能在①、②中选择一个)
证明:

①或②
分析:首先利用勾股定理,可得AB2=BD2+AD2①,AC2=CD2+AD2②,即可得AB2-BD2=AC2-CD2,然后利用平方差公式分解因式可得(AB+BD)(AB-BD)=(AC+CD)(AC-CD),即可得当添加①AB+BD=AC+CD或②AB-BD=AC-CD是都能得到△ABC是等腰三角形.
解答:选择①或②,均可得.
理由:∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
在Rt△ABD中,∵∠ADB═90°,
∴AB2=BD2+AD2①,
在Rt△ACD中,∵∠ADC=90°,
∴AC2=CD2+AD2②,…
由①-②得:AB2-AC2=BD2-CD2
∴AB2-BD2=AC2-CD2
即(AB+BD)(AB-BD)=(AC+CD)(AC-CD),…
当AB+BD=AC+CD时,必有AB-BD=AC-CD(反之亦然),
则AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形.…
故答案为:①或②.
点评:此题考查了等腰三角形的判定、勾股定理以及平方差公式分解因式的知识.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
练习册系列答案
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2
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①或②
①或②
(只能在①、②中选择一个)
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