Question

如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，BG＝10．

(1)当折痕的另一端F在AB边上时，如图(1)．求△EFG的面积．

(2)当折痕的另一端F在AD边上时，如图(2)．证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)过点G作GH⊥AD，则四边形ABGH为矩形，∴GH＝AB＝8，AH＝BG＝10，由图形的折叠可知△BFG≌△EFG，∴EG＝BG＝10，∠FEG＝∠B＝90°；∴EH＝6，AE＝4，∠AEF＋∠HEG＝90°，∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠HEG＝∠AFE，又∵∠EHG＝∠A＝90°，∴△EAF∽△EHG，∴，∴EF＝5，∴S△EFG＝EF·EG＝×5×10＝25． 　　(2)由图形的折叠可知四边形ABGF≌四边形HEGF，∴BG＝EG，AB＝EH，∠BGF＝∠EGF，∵EF∥BG，∴∠BGF＝∠EFG，∴∠EGF＝∠EFG，∴EF＝EG，∴BG＝EF，∴四边形BGEF为平行四边形，又∵EF＝EG，∴平行四边形BGEF为菱形；连结BE，BE、FG互相垂直平分，在Rt△EFH中，EF＝BG＝10，EH＝AB＝8，由勾股定理可得FH＝AF＝6，∴AE＝16，∴BE＝＝8，∴BO＝4，∴FG＝2OG＝2＝4．