分析 由SAS证明△OBN≌△OCM,得出∠BNO=∠CMO,∠OBN=∠OCM,再由等腰三角形的性质证出∠ACB=∠DBC,由圆周角定理得出$\widehat{AB}=\widehat{CD}$,连接BC,证出MN∥BC,作OE⊥BC于E,则O、F、E三点共线,得出F为△OBC三条高的交点,因此OM⊥AC,由垂径定理得出$\widehat{AB}=\widehat{BC}$,即可得出结论.
解答 证明:∵△OMN是等腰三角形,
∴OM=ON,
在△OBN和△OCM中,
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}&{\;}\\{∠O=∠O}&{\;}\\{ON=OM}&{\;}\end{array}\right.$,
∴△OBN≌△OCM(SAS),
∴∠BNO=∠CMO,∠OBN=∠OCM,
∵OA=OB,
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠ACB=∠DBC,
∴$\widehat{AB}=\widehat{CD}$,
连接BC,如图所示:
∵OM=ON,OB=OC,
∴OM:OB=ON:OC,
∴MN∥BC,
作OE⊥BC于E,则O、F、E三点共线,
∵OB=OC,OE⊥BC,
∴F为△OBC三条高的交点,
∴OM⊥AC,
∴$\widehat{AB}=\widehat{BC}$,
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$.
点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、垂径定理、平行线的判定等知识;本题综合性强,有一定难度,需要通过作辅助线才能得出结论.
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A. | $\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$ | B. | $\frac{CE}{CF}$=$\frac{EA}{FB}$ | C. | $\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{BD}$ | D. | $\frac{EF}{AB}$=$\frac{CF}{CB}$ |
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