已知在△ABC中.AB=AC.DB=DC.点F是AB边上一点.点E在线段DF的延长线上.∠BAE=∠BDF.点M在线段DF上.∠EBM=∠ABD．(1)如图1.当∠ABC=45°时.求证:AE=$\sqrt{2}$MD．(2)如图2.当∠ABC=60°时.延长BM到点P.使MP=BM.AD与CP交于点N.若AB=$\sqrt{7}$.BE=$\sqrt{3}$．①求证:BP⊥CP,②求AN的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

4．已知在△ABC中，AB=AC，DB=DC，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，∠EBM=∠ABD．
（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AE=$\sqrt{2}$MD．
（2）如图2，当∠ABC=60°时，延长BM到点P，使MP=BM，AD与CP交于点N，若AB=$\sqrt{7}$，BE=$\sqrt{3}$．
①求证：BP⊥CP；②求AN的长．

分析（1）由题意知∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，故有△ABE∽△DBM⇒AE：DM=AB：BD，而∠ABC=45°⇒AB=$\sqrt{2}$BD，则有AE=$\sqrt{2}$MD；
（2）①由于△ABE∽△DBM，相似比为2，故有EB=2BM，由题意知得△BEP为等边三角形，有EM⊥BP，∠BMD=∠AEB=90°，由D为BC中点，M为BP中点，得DM∥PC，故∠BPC=∠BMD=90°；
②由DM∥CP得∠NCD=∠BDM=∠BAE，根据△BMD∽△BEA得∠BMD=∠BEA=90°，进而知tan∠NCD=tan∠BAE=$\frac{BE}{AE}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，可分别求出AD、CD及DN的长，即可知AN．

解答解：（1）∵AB=AC，且∠ABC=45°，∴∠BAC=90°，
故在RT△ABC中，AB=BC•cos∠ABC=BC•cos45°，即AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，
又∵DB=DC，∴BC=2DB，∴AB=$\sqrt{2}$DB，
∵∠EBM=∠ABD，∴∠EBA=∠MBD，
∵∠BAE=∠BDM，
∴△ABE～△DBM，∴$\frac{AB}{DB}=\frac{AE}{DM}$，
∵AB=$\sqrt{2}$DB，∴AE=$\sqrt{2}$MD；
（2）如图：

①连接AD，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
又∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠DAC=30°，BD=DC=$\frac{1}{2}$AB，
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM，
∴$\frac{BE}{BM}=\frac{AB}{DB}$=2，∠AEB=∠DMB，
∴EB=2BM，
又∵BM=MP，
∴EB=BP，
∵∠EBM=∠EBA+∠ABM=∠MBD+∠ABM=∠ABC=60°，
∴△BEP为等边三角形，
∴EM⊥BP，即∠BMD=90°，
∵DB=DC，BM=MP，
∴DM是△BCP中位线，
∴DM∥PC，
∴∠BMD=∠BPC=90°，即BP⊥PC；
②∵DM∥CP，∴∠NCD=∠BDM，
∵∠BDM=∠BAE，∴∠NCD=∠BAE，
∵△BMD∽△BEA，∠BMD=90°，
∴∠BMD=∠BEA=90°，
在RT△ABE中，AB=$\sqrt{7}$，BE=$\sqrt{3}$，∴AE=2，
则tan∠NCD=tan∠BAE=$\frac{BE}{AE}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在RT△ACD中，AD=AC•sin∠ACD=$\frac{\sqrt{21}}{2}$，CD=AC•cos∠ACD=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
而DN=CD•tan∠NCD=$\frac{\sqrt{21}}{4}$，
∴AN=AD-DN=$\frac{\sqrt{21}}{4}$．

点评此题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，以及锐角三角函数的定义，通过作辅助线使线段与线段的关系得到明确．本题的计算量大，难度适中．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

1．

如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）D是y轴正半轴上的点，OD=3，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，
①试说明EF是圆的直径；
②判断△AEF的形状，并说明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

2．大丰区自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水300吨，计划内用水每吨收费3.4元，超计划部分每吨按4.6元收费．
（1）用代数式表示（所填结果需化简）：
设用水量为x吨，当用水量小于等于300吨，需付款3.4x元；当用水量大于300吨，需付款（4.6x-360）元．
（2）某月该单位用水330吨，水费是1158元；若用水260吨，水费是884元．
（3）若某月该单位缴纳水费1572元，则该单位用水多少吨？

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：填空题

19．

如图，在△ABC中，D为直线BC上任意一点，给出以下判断：
①若点D到AB，AC距离相等，且BD=DC，则AB=AC；
②若AD⊥BC且AD²=BD•DC，则∠BAC=90°；
③若AB=AC，则AD²+BD•DC=AC²；
④若∠BAC=90°，且AD⊥BC，则AD²=BD•DC．
其中正确的是①②④（把所有正确结论序号都填在横线上）

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：选择题

6．化简-$\sqrt{-{x}^{3}}$的结果是（　　）

A．

x$\sqrt{-x}$

B．

-x$\sqrt{-x}$

C．

x$\sqrt{x}$

D．

-x$\sqrt{x}$

查看答案和解析>>