Question

如图在平面直角坐标系中，A点坐标为（8，0），B点坐标为（0，6）C是线段AB的中点．请问在y轴上是否存在一点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：首先由A点坐标为（8，0），B点坐标为（0，6），根据勾股定理，求得AB的长，又由C是线段AB的中点，求得BC的长，然后分别从①如图1，若△PNC∽△OBA与②如图2，若△PBC∽△ABO去分析求解即可求得答案．

解答：解：存在这样的P点．理由如下：
∵∠AOB=90°，OA=8，OB=6；
∴AB=10．
∵C是线段AB的中点，
∴BC=5．
∵∠ABO是公共角，
①如图1，若△PBC∽△OBA，
则需PB：OB=BC：BA，
即

PB

6

=

5

10

，
解得：PB=3，
∴P点的坐标为（0，3）；
②如图2，若△PBC∽△ABO，
∴PB：AB=BC：OB，
即

PB

10

=

5

6

，
解得：PB=

25

3

，
∴OP=PB-OB=

7

3

，
∴P点的坐标为（0，-

7

3

）．
∴P（0，3）或（0，-

7

3

）．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及平面直角坐标系中点的坐标特征等知识．此题难度适中，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．