分析 (1)先证明AD∥OC,得∠DAC=∠ACO,再根据OA=OC得∠OAC=∠OCA,由此即可证明.
(2)连接BM、OC交于点N,根据sin∠ABC=sin∠BCN=$\frac{4}{5}$=$\frac{BN}{BC}$,设BN=4k,BC=5k,则CN=3k,求出DM,BM,根据tan∠CDB=tan∠DBM=$\frac{DM}{BM}$即可解决问题.
解答 (1)证明:∵DC是⊙O切线,
∴OC⊥CD,∵AD⊥CD,
∴AD∥CO,
∴∠DAC=∠ACO,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠ACO,
∴∠DAC=∠CAO,
∴AC平分∠DAB.
(2)解:连接BM、OC交于点N.
∵AB是直径,
∴∠AMB=90°,∵AD∥OC,
∴∠ONB=∠AMB=90°=∠CNB,
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC,
∴sin∠ABC=sin∠BCN=$\frac{4}{5}$=$\frac{BN}{BC}$,设BN=4k,BC=5k,则CN=3k,
∵∠CDM=∠DMN=∠DCN=90°,
∴四边形DMNC是矩形,
∴DM=CN=3k,MN=BN=4k,CD∥BM,
∴∠CDB=∠DBM,
∴tan∠CDB=tan∠DBM=$\frac{DM}{BM}$=$\frac{3k}{8k}$=$\frac{3}{8}$.
点评 本题考查切线的性质、垂径定理、勾股定理的高知识,解题的关键是添加辅助线,构造特殊四边形矩形,学会设未知数解决问题,属于中考常考题型.
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