Question

2．因式分解．
（1）（a-b）³+（b-a-2）³+8；
（2）（ay+bx）³+（ax+by）³-（a³+b³）（x³+y³）；
（3）（x²+y²）²-8（x²+y²-2）；
（4）ax³+x+a+1
（5）2（x²+6x+1）²+5（x²+1）（x²+6x+1）+2（x²+1）²；
（6）（a²-3a+2）x²+（2a²-4a+1）xy+（a²-a）y²；
（7）x³（a+1）-xy（x-y）（a-b）+y³（b+1）

Answer 1

分析 （1）把（a-b）看作一个整体，再化简得到-6（a-b）²-12（a-b），再提取公因式-6（a-b）后化简即可求解；
（2）先根据立方和公式和多项式的乘法得到a³y³+3a²bxy²+3ab²x²y+b³x³+a³x³+3a²bx²y+3ab²xy²+b³y³-a³x³-a³y³-b³x³-b³y³，再合并同类项得到3a²bxy²+3ab²x²y+3a²bx²y+3ab²xy²，再提取公因式3abxy后化简，再分组分解即可求解；
（3）先变形为（x²+y²）²-8（x²+y²）+16，再根据完全平方公式即可求解；
（4）先变形为a（x³+1）+（x+1），再根据立方和公式得到a（x+1）（x²-x+1）+（x+1），再提取公因式（x+1）后化简即可求解；
（5）先根据十字相乘法得到（2x²+12x+2+x²+1）（x²+6x+1+2x²+2），化简后得到9（x²+4x+1）（x²+2x+1），再根据公式法和完全平方公式分解因式即可求解；
（6）根据十字相乘法分解因式得到（ax-2x+ay-y）（ax-x+ay）即可；
（7）首先去括号，进而重新分组，利用提取公因式法分解因式得出即可．

解答 解：（1）（a-b）³+（b-a-2）³+8
=（a-b）³-（a-b+2）³+8
=（a-b）³-（a-b）³-6（a-b）²-12（a-b）-8+8
=-6（a-b）²-12（a-b）
=-6（a-b）（a-b+2）；
（2）（ay+bx）³+（ax+by）³-（a³+b³）（x³+y³）
=a³y³+3a²bxy²+3ab²x²y+b³x³+a³x³+3a²bx²y+3ab²xy²+b³y³-a³x³-a³y³-b³x³-b³y³
=3a²bxy²+3ab²x²y+3a²bx²y+3ab²xy²
=3abxy（ay+bx+ax+by）
═3abxy（a+b）（x+y）；
（3）（x²+y²）²-8（x²+y²-2）
=（x²+y²）²-8（x²+y²）+16
=（x²+y²-4）²；
（4）ax³+x+a+1
=a（x³+1）+（x+1）
=a（x+1）（x²-x+1）+（x+1）
=（x+1）（ax²-ax+a+1）；
（5）2（x²+6x+1）²+5（x²+1）（x²+6x+1）+2（x²+1）²
=（2x²+12x+2+x²+1）（x²+6x+1+2x²+2）
=9（x²+4x+1）（x²+2x+1）
=9（x+2+$\sqrt{3}$）（x+2-$\sqrt{3}$）（x+1）²；
（6）（a²-3a+2）x²+（2a²-4a+1）xy+（a²-a）y²=（ax-2x+ay-y）（ax-x+ay）；
（7）x³（a+1）-xy（x-y）（a-b）+y³（b+1）
=x³（a+1）-xy（x-y）（a-b）+y³（b+1）
=ax³+x³-x²y（a-b）+xy²（a-b）+by³+y³
=ax³+x³-x²ya+bx²y+axy²-bxy²+by³+y³
=a（x³-x²y+xy²）+b（y³+x²y-xy²）+x³+y³
=ax（x²-xy+y²）+by（x²-xy+y²）+（x+y）（x²-xy+y²）
=（ax+by+x+y）（x²-xy+y²）．

点评 此题主要考查了因式分解，分组分解法分解因式，提取公因式，立方和公式和多项式的乘法，完全平方公式，十字相乘法，公式法，注意分解因式要彻底．