Question

8、小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创造的同学．一天，他在解方程时，突然产生了这样的想法，x²+1=0这个方程虽然在实数范围内无解，但是，假如存在这样一个数i，使i²=-1，那么方程x²+1=0可以变为x²=i²，则x=±i是方程x²+1=0两个根．小明还发现i具有如下性质：
i¹=i；i²=-1；i³=i²×I=（-1）×i=-i；i⁴=（i²）²=（-1）²=1；i⁵=i⁴×i=i；i⁶=（i²）³=（-1）³=-1；i⁷=i⁶×i=-i；i⁸=（i⁴）²=1…，请你观察上述各式，根据你发现的规律填空：i⁴ⁿ⁺¹=

i

，i⁴ⁿ⁺²=

-1

，i⁴ⁿ⁺³=

-i

（n为自然数）．

Answer 1

分析：本题是一道规律题，根据题目中所给的条件寻找规律，发现每4个一循环，这样就能得到i⁴ⁿ⁺¹，i⁴ⁿ⁺²，i⁴ⁿ⁺³的值．

解答：解：因为i具有下列性质：
i¹=i，i²=-1，i³=i²×i=-i，i⁴=（i²）²=（-1）²=1；
i⁵=i⁴•i=1×i=i，i⁶=i⁴•i²=1×（-1）=-1，i⁷=i⁴•i³=1×（-i）=-i，i⁸=i⁴•i⁴=1×1=1，…
根据以上性质，发现每4个一循环，
所以i⁴ⁿ⁺¹=（i⁴）ⁿ•i=1ⁿ•i=1×i=i，
i⁴ⁿ⁺²=（i⁴）ⁿ•i²=1ⁿ•（-1）=-1，
i⁴ⁿ⁺³=（i⁴）ⁿ•i³=1ⁿ•（-i）=-i．
故本题的答案分别是i，-1，-i．

点评：本题考查一元二次方程的解，根据题目所告诉的条件寻找规律，同时准确运用幂的乘方的法则．