Question

16．如图，已知抛物线与y轴交于点C（0，-3），与x轴交于点A（-1，0）B（4，0），将△ABC绕点C顺时针旋转α得△A₁B₁C（点A，B的对应点分别为点A₁，B₁），CB₁交抛物线于点D，射线A₁B₁与射线BC交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点A₁落在AB边上时，判断CB₁与AB的位置关系，并说明理由，求出此时点E的坐标；
（3）旋转过程中，在直线BC上是否存在点P，使得以A₁，B₁，C，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4），将点C的坐标代入求解即可；
（2）由旋转的性质可知∠ACA₁=∠BCB₁，然后再证明△ABC为等腰三角形，依据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可证明∠ABC=∠ACA1，故此可得到∠ABC=∠BCB₁；
（3）当CP为平行四边形的对角线时，取AB的中点D，连结CD，依据勾股定理求得CD的长，然后依据旋转的性质求得CE的长，故此可求得PC的长，然后可求得点P的坐标，当CP为平行四边形的边时，可求得CP=5，然后可求得点P的坐标．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4），将点C的坐标代入得：-4a=-3，解得：a=$\frac{3}{4}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x-3．
（2）由旋转的性质可知AC=A₁C，∠ACA₁=∠BCB₁，
∴∠A₁AC=∠CA₁A．
∵CB=$\sqrt{C{O}^{2}+O{B}^{2}}$=5，AB=5，
∴AB=BC．
∴∠ABC=∠ACB．
∴∠ACA₁=∠ABC．
∴∠ABC=∠BCB₁，
∴CB₁∥AB．
（3）如图1所示：取AB的中点D，连结CD．

由题意可知OD=1.5，依据勾股定理可知CD=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．
由旋转的性质可知CE=CD=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．
∴CP=3$\sqrt{5}$．
点P的坐标为（$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，$\frac{9\sqrt{5}-15}{5}$）．
同理：如图2所示时，PC=3$\sqrt{5}$．

∴点P的坐标为（-$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，$\frac{-9\sqrt{5}-15}{5}$）．
如图3所示：

∵四边形CA₁B₁P为平行四边形，
∴PC=A₁B₁=5．
∴点P的坐标为（-5×$\frac{4}{5}$，-3-5×$\frac{3}{5}$），即P（-4，-6）．
如图4所示：同理可知：CP=5．

∴点P的坐标为（5×$\frac{4}{5}$，-3+5×$\frac{3}{5}$），即P（4，0）．
综上所述点P的坐标为（$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，$\frac{9\sqrt{5}-15}{5}$）或（-$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，$\frac{-9\sqrt{5}-15}{5}$）或（-4，-6）或（4，0）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，旋转的性质、等腰三角形的性质，平行四边形的性质，求得PC的长是解题的关键．