Question

如图，在平面直角坐标系中，函数y=x的图象l是第一、三象限的角平分线．
（1）实验与探究：由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（-2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出它们的坐标：B′

（3，5）

、C′

（5，-2）

；
（2）归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（m，n）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为

（n，m）

；
（3）类比与猜想：坐标平面内任一点P（m，n）关于第二、四象限的角平分线的对称点P′的坐标为

（-n，-m）

；
（4）运用与拓广：已知两点D（0，-3）、E（-1，-4），试在第一、三象限的角平分线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．

Answer 1

分析：（1）根据A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0）进行解答；
（2）根据关于直线y=x对称的点的坐标特点进行解答；
（3）根据关于直线y=-x的对称的点的坐标特点进行解答；
（4）求出点D关于直线y=-x的对称点D′，利用待定系数法求出直线D′E的解析式，求出直线D′E与直线y=-x的交点坐标即为Q点的坐标．

解答：解：（1）∵A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），
∴B（5，3）、C（-2，5）关于直线l的对称点B′（3，5），C′（5，-2），
故答案为：（3，5）；（5，-2）

（2）∵A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），
∴关于直线l对称的点的坐标横纵坐标互为相反数，
∴点P（m，n）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（n，m）．
故答案为：（n，m）；

（3）猜想：坐标平面内任一点P（m，n）关于第二、四象限的角平分线的对称点P′的坐标为：（-n，-m），
故答案为：：（-n，-m）；

（4）∵点D关于直线y=x的对称点D′（-3，0），
设过点D′E的直线解析式为y=kx+b（k≠0），
∵D′（-3，0），E（-1，-4），
∴

-3k+b=0 -k+b=-4

，解得

k=-2 b=-6

，
∴直线D′E的解析式为y=-2x-6，
∵点Q是直线D′E与直线y=x相交与点Q，
∴

y=-2x-6 y=x

，解得

x=-2 y=-2

，
∴Q（-2，-2）

点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到关于直线y=x，y=-x的点的坐标特点、轴对称-最短路线问题等知识，难度适中．