Question

16．在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点E为边AD上一动点，把△BAE沿直线BE折叠，恰好使得点A的对应点F落在矩形ABCD的对角线上，则△EBD的面积S=$\frac{15}{4}$或$\frac{21}{8}$．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求得BD，当F在BD上时，设AE=x，由翻折的性质得：EF=AE=x，BF=AB=3，则由勾股定理求得AE，进而求得ED，由三角形的面积公式可求得结论；
（2）当F在AC上时，由射影定理求得AG，进而求得GC，由三角形的判定定理证得△AEG∽△CBG，根据相似三角形的性质求得AE，进而求得ED，由三角形的面积公式可求得结论．

解答 解：∵矩形ABCD，
∴∠A=90°，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5
当F在BD上时，如图1，设AE=x，
由翻折的性质得：EF=AE=x，BF=AB=3，
∴ED=4-x，∠EFD=∠A=90°，
∴FD=5-2=2，ED=4-x，
在Rt△EFD中，
x²+2²=（4-x）²，
解得：x=$\frac{3}{2}$，∴ED=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴△EBD的面积S=$\frac{1}{2}$ED•AB=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×3=$\frac{15}{4}$；

当F在AC上时，如图2，由翻折的性质得：BD垂直平分AF，AC=BD=5，
由射影定理得：AB²=AG•AC，
∴AG=$\frac{A{B}^{2}}{AC}$=$\frac{9}{5}$，
∴GC=AC-AG=$\frac{16}{5}$，
∵AD∥BC，
∴∠EAG=∠ACB，
∵∠EGA=∠ABC=90°，
∴△AEG∽△CBG，
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{AG}{GC}$，
∴$\frac{AE}{4}=\frac{\frac{9}{5}}{\frac{16}{5}}$，
∴AE=$\frac{9}{4}$，
∴ED=4-$\frac{9}{4}$=$\frac{7}{4}$，
∴△EBD的面积S=$\frac{1}{2}$ED•AB=$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{4}$×3=$\frac{21}{8}$，
故答案为：$\frac{15}{4}$或$\frac{21}{8}$．

点评 本题主要考查了翻折的性质，勾股定理，射影定理，相似三角形的判定和性质，矩形，方程等知识，正确作出辅助线，利用勾股定理构造方程是解决问题的关键．