Question

如图1，A、B是直线a上的两个定点，点C、D在直线b上运动（点C在点D的左侧），AB=CD=4cm．已知a∥b，a、b间的距离为

3

cm．连接AC、BD、BC，把△ABC沿直线BC翻折得△A₁BC．当A₁、D两点不重合时，连接A₁D．
（1）探究A₁D与BC的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，若四边形A₁CBD是矩形，求AC的长．

Answer 1

分析：（1）解题的基本思路是通过观察，猜想A₁D∥BC，然后寻找内错角、同旁内角和同位角，再根据平行线的判定，即可得出A₁D和BC的关系；
（2）作CE⊥AB，设AE为x，利用射影定理即可求出AC的值．

解答：解：（1）设A₁B、CD相交于点O．
由翻折可知：∠2=∠6，（1分）
∵a∥b，
∴∠4=∠6，（2分）
∴∠2=∠4，
∴OC=OB，（3分）
∵AB=A₁B=CD，
∴A₁O=DO，
∴∠1=∠5，（4分）
∵∠1+∠5=∠2+∠4=∠BOD，
∴2∠1=2∠2，即∠1=∠2，
∴A₁D∥BC；（5分）

（2）如图2，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，
∵四边形A₁CBD是矩形，
∴∠ACB=∠A₁CB=90°，（6分）
∵CE⊥AB于点E，
∴Rt△ACE∽Rt△CBE，
∴

CE

BE

=

AE

CE

．
即CE²=AE×BE，（直接用射影定理亦可），
设AE=x，则(

3

)2=x×(4-x)，（10分）
解得x₁=1，x₂=3．（11分）
∴当x₁=1时，AC=2；
当x₂=3时，AC=2

3

．（12分）

点评：此题是一道动点问题，解题的关键是找到运动中的不变量．此类题目难度较大，需要同学们有较强的分析问题的能力．