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    在平面直角坐标系中，已知M1（3，2），N1（5，﹣1），线段M1N1平移至线段MN处（注：M1与M，N1与N分别为对应点）．

    （1）若M（﹣2，5），请直接写出N点坐标．

    （2）在（1）问的条件下，点N在抛物线上，求该抛物线对应的函数解析式．

    （3）在（2）问条件下，若抛物线顶点为B，与y轴交于点A，点E为线段AB中点，点C（0，m）是y轴负半轴上一动点，线段EC与线段BO相交于F，且OC：OF=2：，求m的值．

    （4）在（3）问条件下，动点P从B点出发，沿x轴正方向匀速运动，点P运动到什么位置时（即BP长为多少），将△ABP沿边PE折叠，△APE与△PBE重叠部分的面积恰好为此时的△ABP面积的，求此时BP的长度．

    考点：

    二次函数综合题．

    专题：

    综合题．

    分析：

    （1）首先根据点M的移动方向和单位得到点N的平移方向和单位，然后按照平移方向和单位进行移动即可；

    （2）将点N的坐标代入函数的解析式即可求得k值；

    （3）配方后确定点B、A、E的坐标，根据CO：OF=2：用m表示出线段CO、FO和BF的长，利用S△BEC=S△EBF+S△BFC=得到有关m的方程求得m的值即可；

    （4）分当∠BPE＜∠APE时、当∠BPE=∠APE时、当∠BPE＜∠APE时三种情况分类讨论即可．

    解答：

    解：（1）由于图形平移过程中，对应点的平移规律相同，

    由点M到点M′可知，点的横坐标减5，纵坐标加3，

    故点N′的坐标为（5﹣5，﹣1+3），即（0，2）．

    N（0，2）；

    （2）∵N（0，2）在抛物线y=x2+x+k上

    ∴k=2

    ∴抛物线的解析式为y=x2+x+2    

    （3）∵y=x2+x+2=（x+2）2

    ∴B（﹣2，0）、A（0，2）、E（﹣，1）

    ∵CO：OF=2：

    ∴CO=﹣m，FO=﹣m，BF=2+m

    ∵S△BEC=S△EBF+S△BFC=

    ∴（2+m）（﹣m+1）=

    整理得：m2+m=0

    ∴m=﹣1或0                       

    ∵m＜0

    ∴m=﹣1                  

    （4）在Rt△ABO中，tan∠ABO===

    ∴∠ABO=30°，AB=2AO=4

    ①当∠BPE＞∠APE时，连接A1B则对折后如图2，A1为对折后A的所落点，△EHP是重叠部分．

    ∵E为AB中点，∴S△AEP=S△BEP=S△ABP

    ∵S△EHP=S△ABP

    ∴=S△EHP=S△BHP=S△ABP

    ∴A1H=HP，EH=HB=1

    ∴四边形A1BPE为平行四边形

    ∴BP=A1E=AE=2

    即BP=2                                                    

    ②当∠BPE=∠APE时，重叠部分面积为△ABP面积的一半，不符合题意；

    ③当∠BPE＜∠APE时．

    则对折后如图3，A1为对折后A的所落点．△EHP是重叠部分

    ∵E为AB中点，

    ∴S△AEP=S△BEP=S△ABP

    ∵S△EHP=S△ABP∴S△EBH=S△EHP==S△ABP

    ∴BH=HP，EH=HA1=1

    又∵BE=EA=2

    ∴EHAP，

    ∴AP=2

    在△APB中，∠ABP=30°，AB=4，AP=2．

    ∴∠APB=90°，

    ∴BP=，

    综合①②③知：BP=2或；

    点评：

    此题主要考查了点的平移、二次函数解析式的确定，图形折叠问题及图形面积等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．

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    （-6，8）
    ．

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    -7
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    在平面直角坐标系中，有A（2，3）、B（3，2）两点．
    （1）请再添加一点C，求出图象经过A、B、C三点的函数关系式．
    （2）反思第（1）小问，考虑有没有更简捷的解题策略？请说出你的理由．

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    		2
    2
    ．
    （1）求抛物线的函数解析式；
    （2）作AC⊥AD，AC交抛物线于点C，求点C的坐标及直线AC的函数解析式；
    （3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在一点P，使△APC的面积最大？如果存在，请求出点P的坐标和△APC的最大面积；如果不存在，请说明理由．

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    18、在平面直角坐标系中，把一个图形先绕着原点顺时针旋转的角度为θ，再以原点为位似中心，相似比为k得到一个新的图形，我们把这个过程记为【θ，k】变换．例如，把图中的△ABC先绕着原点O顺时针旋转的角度为90°，再以原点为位似中心，相似比为2得到一个新的图形△A1B1C1，可以把这个过程记为【90°，2】变换．
    （1）在图中画出所有符合要求的△A1B1C1；
    （2）若△OMN的顶点坐标分别为O（0，0）、M（2，4）、N（6，2），把△OMN经过【θ，k】变换后得到△O′M′N′，若点M的对应点M′的坐标为（-1，-2），则θ=
    0°（或360°的整数倍）
    ，k=
    2
    ．

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