Question

15．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C，已知点A的坐标为（-3，0），点B坐标为（1，0），点C在y轴的正半轴，且∠CAB=30°．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若直线l：y=$\sqrt{3}$x+m从点C开始沿y轴向下平移，分别交x轴、y轴于点D、E．
①当m＞0时，在线段AC上否存在点P，使得点P，D，E构成等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
②以动直线l为对称轴，线段AC关于直线l的对称线段A′C′与二次函数图象有交点，请直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）如图1，连结AC，在Rt△AOC中，∠CAB=30°，根据三角函数可得C（0，$\sqrt{3}$），根据待定系数法可求抛物线解析式；
（2）①由题意可知，OE=m，OD=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}m$，∠DEO=30°，根据等腰直角三角形的判定与性质分三种情况：
（i）如图2，当PD⊥DE，DP=DE，作PQ⊥x轴；
（ii）如图3，当PE⊥DE，PE=DE，作PQ⊥y轴；（iii）如图4，当DP⊥DE，DP=PE，作DM⊥AC，EN⊥AC；进行讨论可求点P的坐标；
②动直线l与直线AC的交点为C和动直线l与y轴的交点在x轴下面，并且与前面的直线平行，可求m的取值范围．

解答 解：（1）如图1，连结AC，在Rt△AOC中，∠CAB=30°，
∵A（-3，0），即OA=3，
∴OC=$\sqrt{3}$，即C（0，$\sqrt{3}$），
设抛物线解析式为$y=a{x^2}+bx+\sqrt{3}$，
将A（-3，0），B（1，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}a+b+\sqrt{3}=0\\ 9a-3b+\sqrt{3}=0\end{array}\right.$．
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}\\ b=-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$．
∴$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}{x^2}-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}x+\sqrt{3}$；

（2）由题意可知，OE=m，OD=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}m$，∠DEO=30°，
（i）如图2，当PD⊥DE，DP=DE，作PQ⊥x轴
∴∠PQD=∠EOD=90°，
∠PDQ+∠EDO=90°，∠EDO+∠DEO=90°，
∴∠DEO=∠PDQ=30°，
在△DPQ与△EDO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PQD=∠EOD}\\{∠DEO=∠PDQ}\\{DP=DE}\end{array}\right.$，
∴△DPQ≌△EDO（AAS），
∴DQ=OE=m，
∵∠PAQ=∠PDQ=30°，
∴PA=PD，
∴AQ=DQ=m，
∴OA=2m+$\frac{{\sqrt{3}}}{3}m$=3，
∴$m=\frac{9}{{6+\sqrt{3}}}=\frac{{18-3\sqrt{3}}}{11}$；
（ii）如图3，当PE⊥DE，PE=DE，作PQ⊥y轴，
同理可得CQ=EQ=OD=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}m$，
∴OC=m+$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}m$=$\sqrt{3}$，
∴$m=\frac{{9-3\sqrt{3}}}{{3+\sqrt{3}}}=6-3\sqrt{3}$；
（iii）如图4，当DP⊥PE，DP=PE，作DM⊥AC，EN⊥AC，
同理可得AP=AD=$\frac{{9-\sqrt{3}m}}{3}$，PN=DM=$\frac{{9-\sqrt{3}m}}{6}$，CN=$\frac{{\sqrt{3}-m}}{2}$
∴AC=$\frac{{9-\sqrt{3}m}}{3}$+$\frac{{9-\sqrt{3}m}}{6}$+$\frac{{\sqrt{3}-m}}{2}$=$2\sqrt{3}$，
∴$m=\frac{{9-3\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}+1}}=6\sqrt{3}-9$；
②当x=0，y=$\sqrt{3}$时，$\sqrt{3}$=0+m，解得m=$\sqrt{3}$；
当x=0，y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=0+m，解得m=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故m的取值范围为：$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤m≤\sqrt{3}$．

点评 考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：三角函数，待定系数法求抛物线解析式，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，分类思想的运用，轴对称的性质，综合性较强，有一定的难度．